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EMPLOI DES COORDONNÉES CUR V !LIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
gnant par A et B les rayons principaux de la surface, et en prenant 63 = !. D'autre part, l'élement to. supporte, de la
limité, d'un côté, par le plan de niveau Ox, de l'autre, par la surface du ménisque, laquelle est nécessairement de révolution comme le cylindre. Le volume de cet élément
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part du liquide ambiant, une pression normale mesurée par la hauteur h. Donc, si l'on fait abstraction de la cohésion du liquide ou de la solidarité des molécules qui le. constituent, l'équation d'équilibre du ménisque sera h
H
1)
7
A
.6
II
sera dELS yxdx, en désignant par c-1.11 l'angle des deux plans 0
Verticaux qui l'interceptent. Par suite, le volume total V de la colonne liquide soulevée ou déprimée s'exprimera par l'intégrale 2Tc) yxdx. Mais la hauteur y (ou h) est 0
Ce résultat comporte diverses restrictions ; en premier. lieu, si les rayons de courbure A et B sont l'un et l'autre comparables, ou l'un d'eux seulement, au rayon d'activité des forces capillaires, la résultante R devra être complétée par des termes d'un ordre supérieur ; de plus, il peut se faire que l'intervention des forces élastiques maintienne chaque élément w à une hauteur très-différente de celle qui lui serait assignée par l'action combinée de la gravité et des attractions capillaires. On verra plus loin que l'équation précédente s'applique encore à des tubes assez étroits et à des lames assez rapprochées pour rendre le ménisque presque circulaire ; dès lors, on peut considérer les termes qui doivent compléter la résultante R comme se réduisant dans leur ensemble, pour un ménisque donné, à une quantité constante ; s'il en est de .même des forces développées par la solidarité des molécules, l'équation d'équilibre subsistera sous la même forme, mais à la condition de mesurer les ordonnées h à:partir d'un niveau fictif, convenablement choisi. 57. Lois de Newton déduites de l'équation différentielle du ménisque. -- Supposons, d'abord qu'il s'agisse d'un cylindre vertical de rayon r. Prenons pour axes coordonnés
l'axe Oy du cylindre et une horizontale Ox située dans le plan de niveau du liquide à l'extérieur. -Considérons, dans la masse liquide, un élément de volume compris entre deux plans verticaux infiniment voisins passant par l'axe Oy, et
donnée par l'équation o) ; on a d'ailleurs, en désignant par e l'angle que la première ligne de courbure (ligne de plus grande pente) fait atipoint (x, y) avec la verticale, dy COS 0 =.--
ds
sin 0_ =
dx ds
ds=- AdO
x
B cos 0 (*).
En conséquence, le volume V devra satisfaire à l'équation
çr (
cos 0 \
ds
de là, en remplaçant ds par V _= 211H
x)
xdx;
dx sin(
S.d(x cos 0).
Au point le plus bas, x cos 0 s'évanouit ; au point le plus haut, cette fonctiton de l'abcisse x se réduit à r cos 0, en désignant maintenant par 0 l'angle à la paroi on a donc, l'intégration effectuée = 7D11 cos 0.
Soient maintenant deux lames verticales, séparées par une distance 2 a. La surface fluide prend nécessairement, à l'intérieur de ces lames, la forme d'un cylindre droit (*) Théorème de Meusnier.