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priétés des milieux où la symétrie est moins complète et, par exemple, de celle que nous venons de démontrer cidessus. Donc si nous supposons qu'un tel milieu soit soumis à une déformation quelconque, et si nous le concevons découpé en éléments parallélipipédiques dont les arêtes soient en chaque point parallèles aux axes de l'ellipsoïde de déformation, les forces élastiques qui s'exerceront entre ces divers éléments seront normales aux faces planes qui les séparent. Il reste à déterminer la valeur de ces forces élastiques.
(IX dY dZ
cette déformation, c'est-à-dire des rapports dx'. dy' dz
entre les dimensions des arêtes primitives et celles des arêtes déformées (car les angles du parallélipipède dxdy dz ne sont pas déformés). Ainsi l'on doit avoir
du
dv dto
dx
7.
., ou que nous pouvons négliger les termes de
degré supérieur au premier dans le développement de la .
fonction p. Donc l'expression la plus générale de
=A
,
---, dx
dv
dy,
,
dv
du}
dy
On peut ajouter que A=B pour les solides homogènes et d'élasticité constante. En effet, si A et B étaient inégaux, la valeur de
P
-
changerait quand on intervertirait les défor-
mations des deux arêtes parallèles à ox et à oy et le milieu élastique se comporterait comme un milieu dyssymétrique par rapport au plan bissecteur de zox et zoy. En résumé, pour les milieux homogènes et d'élasticité
(7)
du)) dz
u, Y = y + v, dv du)
dx' dy' dz
La fonction cp doit s'annuler quand la déformation est du
du dx
cdw
(du
i')'
arêtes, c'est-à-dire si l'on pose X = x
=F
peut
être réduite à la formule
tique
ou encore, si l'on appelle du, clv, du les déformations des
w
P
constante, l'expression la plus générale de la force élasdX dY
Pdu
est du premier degré en
mation, c'est-à-dire que
Or si nous considérons un des éléments dxdydz qui après déformation, est devenu dXdYdZ, la force élastique P qu'il développe sur sa base ci), en vertu dé la déformation, ne peut dépendre que des variables qui définissent
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DE L'ÉLASTICITÉ.
PRINCIPES DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE
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nulle, c'est-à-dire pourdx -- = o. dy o, dz = o. De plus, nous admettons, en vertu de notre premier principe, que la force élastique croit proportionnellement à la défor-
dy
clz
ne renferme que deux constantes A et C qui se retrouveront les mêmes en tous les points et pour toutes les directions, et qui, par conséquent, suffisent pour définir le milieu au point de vue de ses propriétés élastiques. Nous avons l'expression des forces élastiques correspondant aux variations des longueurs des arêtes du cube élémentaire dxdydz; nous allons en déduire celle des forces élastiques qui correspondent aux variations de ses angles dièdres.
Ainsi, soit un cube, et supposons qu'il soit déformé de telle sorte que les longueurs de ses arêtes restent con-