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NOTE SUR LE PLANIMÈTRE D'AMSLER.
mée, le nombre de tours et de fractions de tour dont
NOTE SUS LE PLANIMÈTRE D'AMSLER.
aura tourné la roulette pendant cette opération donnera (à
Il en résulte que si l'on décrit deux circonférences, du même centre 0, avec les rayons (L R) et (L R), pointe mobile B sera située nécessairement dans l'espace annulaire compris entre ces deux circonférences limites que je représente en )3, et Pour que l'on puisse faire suivre à la pointe B un certain arc de courbe tracé sur le papier, il faut que cet arc soit tout entier contenu dans
des constantes près) l'aire limitée par cette courbe. La théorie du planimètre consiste à établir ce résultat. Les deux branches OA, BA, au lieu d'être dans un même plan, sont en réalité dans. deux plans différents, parallèles
au plan du dessin ; l'articulation en A a lieu au moyen d'un axe perpendiculaire au plan du dessin. De cette facon, la branche BA, dans son mouvement, peut passer (au besoin) au-dessus de la branche plus courte AO. On a établi déjà la théorie de cet instrument de bien des manières différentes : je me propose d'en présenter encore une démonstration, basée sur des calculs assez restreints. Soient (fig. 2) 0, la pointe du planimètre, B, la pointe mobile, OA, BAC, les deux branches du planimètre, articulées en A,
La roulette a son centre en C, à l'extrémité de la branche BAC; son plan est perpendiculaire à BAC qui lui sert d'axe. Nous désignerons par la longueur 0A, L,
/,
p, le rayon vecteur OB,
décrira un cercle tangent aux cercles ),), et )a'. Dans ce mouvement de la branche BAC, la roulette C roulera sans
glisser sur le papier. Si la branche BAC tourne autour de A d'un angle e, la roulette roulera d'un arc ls. J'appellerai cercles de roulement tous les cercles qui, lorsqu'ils sont
ainsi décrits par la pointe B, conduisent à un mouvement
de roulement sans glissement de la roulette. Tous ces cercles de roulement ont le même rayon L. Leurs centres sont sur une circonférence décrite du centre 0 avec le rayon R. Ils ont pour enveloppe les circonférences ),), et La fig. 5 représente un certain nombre de ces
Leur ensemble couvre tout l'espace annulaire
de contact de la roulette décrit sur le papier un cercle
/ sont des constantes qui dépendent de l'instru-
ment.
a et p sont deux éléments variables qui dépendent l'un de l'autre. Dans le triangle OAB, on a AB
Imaginons que la branche 04 reste fixe, et que la branche BAC tourne autour de l'articulation A. La pointe B
compris entre les circonférences )3, et (fig. 4). Quand la pointe B décrit un cercle de roulement, le point
a, l'angle OAC.
L,
l'espace annulaire compris entre les deux cercles )3, et ),nnt.
cercles.
AB, AC,
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AO < OB < AB + AO,
c'est-à-dire <p<L+ R.
concentrique y. A chaque cercle de roulement décrit par la pointe B correspond un cercle y décrit sur le papier par le point de contact de la roulette. Il y a une infinité de cercles y. Imaginons leurs trajectoires orthogonales. Quand le point de contact de la roulette décrit sur le papier une de ces trajectoires orthogonales, la pointe B décrit une courbe que j'appellerai courbe de glissement. Quand la pointe B décrit une courbe de glissement, la roulette glisse, sans rouler, sur le papier. Car, pour un élément d'une courbe de
glissement, le point de contact de la roulette se déplace Tome E, 1882.
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