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NOTE SUR LE PLANIMÈTRE D'AMSLER,
NOTE SUR LE PLANIMÈTRE D'AMSLER.
sur le papier dans une direction perpendiculaire au plan de la roulette. Soit OABC (fig. 5) une position quelconque du planimètre.
Faisons décrire à la pointe B une courbe de glissement, et cherchons la tangente en B à cette courbe. Pour cela, cherchons le centre instantané de rotation de la branche BAC.
Ce centre instantané sera le point d'intersection I du rayon OA et de la perpendiculaire CI à CAB tirée par le point C. En joignant IB, nous aurons en IB la normale en B à la courbe de glissement. BT, perpendiculaire à BI, est la tangente en B à cette courbe. L'ensemble de toutes les courbes de glissement couvre tout l'espace annulaire compris entre les circonférences ):), et W.): (fig. 4.) Cet espace annulaire peut être considéré comme recouvert d'un double réseau de lignes : les lignes d'un de ces réseaux sont les cercles de roulement; les lignes de l'autre réseau sont les courbes de glissement. Quand la pointe B
décrit les premières, la roulette roule sans glisser sur le papier ; quand la pointe B décrit les secondes, la roulette glisse sans rouler, elle ne tourne pas autour de son axe.
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Soit
dx l'arc infiniment petit BD, Sy l'arc infiniment petit BB',
dx et y sont deux infiniment petits indépendants l'un de l'autre. Je désignerai au moyen de la caractéristique d les différentielles qui dépendent de dx, et au moyen de la carastéristique les différentielles qui dépendent de ay. D'après cette convention, on aura arc B'D' = dx (dx), arc DO' = `dy + d (Y).
Nous avons déjà posé OA = R, AB = L, AC -= 1,
angle OAC
=.
Quand la pointe B passe de B en D, l'angle devient + da. Quand elle passe de B en B', l'angle a devient a + L. L'angle a augmente de dr. quand la pointe B parcourt l'arc BD; il augmente de L quand la pointe parcourt a.
l'arc BB'.
Considérons une position quelconque OABC du planimètre (fig. 6). Par le point B traçons le cercle de roulement rr et la courbe de glissement gg qui correspondent à cette position du planimètre. Traçons un cercle de roulement Yr' infiniment voisin de rr et une courbe de glisse-
tt.
ment g' g' infiniment voisine de gg. Ces quatre courbes se coupent aux quatre points BB'D'D, qui sont les sommets d'un quadrilatère infiniment petit. Je vais faire parcourir à la pointe B du planimètre le périmètre de ce quadrilatère. J'établirai pour ce quadrilatère infiniment petit la théorie du planimètre. La théorie générale pour une courbe fermée quelconque parcourue par la pointe B s'en déduira presque immédiatement.
Faisons parcourir à la pointe le périmètre du quadrilatère infiniment petit BB'D'D dans le sens du mouvement
des aiguilles d'une montre
,
c'est-à-dire dans le sens
BB'D'DB, et cherchons successivement, d'une part l'aire de ce quadrilatère, d'autre part l'arc dont aura tourné la roulette quand le périmètre du quadrilatère aura été parcouru.
L'aire du quadrilatère BB'D'D est un infiniment petit du second ordre, et on peut, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, considérer cette aire comme celle d'un parallélogramme dont la base est dx Lda et dont la hauteur est la projection de BB' sur AB. Or, quand la pointe B parcourt l'arc BB' y, l'articulation A parcourt un arc