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SUR LA THÉORIE DU PLANIMÈTRE D'AMSLER.
SUR LA THÉORIE DU PLANIMÈTRE D'AMSLER.
L'accroissement c13" de l'angle 0 résulte des déplace-. ments angulaires des deux côtés IB, IC de cet angle et
vrai z multiplié par la longueur a de la branche IÀ de l'instrument. On lit donc directement sur l'instrument la valeur du produit az qui représente le premier membre de l'équation (6); c'est ce que nous appellerons le roulement accusé par l'instrument. Remarquons que le terme -1 p2dw représente l'aire
a évidemment pour expression la différence des déplacements angulaires de ces côtés. On a donc d
(3)
c cos 0 ch» b
to.
Éliminons e et d0" entre (1), (2) et (3). Il vient c cosOcho b(d0
dz
(4.)
dt0).
Or, dans le triangle CIA, on a p2 = a2
d'où
2oc cos() , as
C COS
Portons cette valeur de c cos 0 dans (4). Il vient adz
( dO + d ) ,
2
011
adz =
(5)
d to
a2
c2
2ab
7-'54 e
dto
abdO.
Cette équation (5) est relative à un déplacement élémentaire quelconque de la pointe A du planimètre. Appliquons-la à un déplacement fini quelconque de cette pointe A. Pour cela, intégrons. 11 vient, en appelant z le roulement total de la roulette. (6)
az
1
-
fp2 do)
ce LI- c2 4- 2 ab
fd
w
ab fd O.
Cette équation fondamentale donne directement la théorie du planimètre, comme je vais le montrer un peu plus loin. Ordinairement, les divisions marquées sur la roulette
du planimètre d'Amsler et sur le compteur qui enregistre le nombre de tours correspondent au roulement
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-2
d'un secteur limité à deux rayons rectilignes issus de C et à la courbe conjuguée de la courbe décrite par la pointe A du planimètre ; car le rayon vecteur CA' du planimètre conjugué est constamment égal au rayon vecteur CA. ou p du planimètre CAIB; en outre, les déplacements angulaires successifs de CA' sont égaux aux déplacements angulaires successifs dw de la branche CI dans le prolongement de laquelle il se trouve. Appliquons la formule fondamentale (6) à divers cas. PREMIER CAS : Courbe fermée, le pae étant à l'extérieur de cette courbe. Si la pointe A parcourt une courbe fermée qui laisse le pôle en dehors de la surface limitée par cette courbe, l'équation (6) se réduit à
az = Or
-1
2
1
fp2 d u).
102c1co est l'aire de la surface conjuguée de la ,
surface limitée par la courbe fermée décrite par la pointe A
du planimètre. A cause de l'égalité des ares de deux sur-
faces conjuguées, on conclut que, dans ce cas, le roulement accusé par le planimètre représente l'aire limitée par la courbe fermée décrite par la pointe de l'instrument.
DEUXIÈME CAS : Courbe fermée, le m'Ide étant à l'in-
Dans ce cas la branche CI effectue une révolution complète, etf dw a, par consé. térieur de cette courbe.