Annales des Mines (1887, série 8, volume 11) [Image 64]

Cette page est protégée. Merci de vous identifier avant de transcrire ou de vous créer préalablement un identifiant.

128

SUR LA THÉORIE DU PLANIMÈTRE D'AMSLER. 129

SUR LA THÉORIE DU PLANIMÈTRE D'AMSLER.

quent, pour valeur 27c. L'équation (6) se réduit alors à

-102c/ta représente indifféremment la surface de l'un 2

az 1

72-

fp2c/con(a2+c2+2ab

fp2 d to =_- az + 7-.(a2

c2 +2 a).

On en conclut que, dan's ce cas, l'aire limitée par la courbe fermée décrite par la pointe du planimètre a pour valeur le roulement accusé par l'instrument, augmenté de la constante e(a2 c' 2ab).

'

ou l'autre des deux secteurs que nous avons considérés et dont les aires sont égales. De cette dernière équation

on conclut que l'aire du secteur limité par un arc de courbe dont les extrémités sont à égale distance du pôle

a pour valeur le roulement accusé par le planimètre (lorsque la pointe de l'instrument parcourt cet arc) augmenté du terme

a' +

2ab c22+

çà qui est proportionnel à

l'angle au centre du secteur.

TROISIÈME CAS : Arc de courbe dont les extrémités sont

à égale distance du pdle. Considérons, d'un part, le secteur limité à cet arc et à deux rayons issus du pôle, et, d'autre part, le secteur limité à l'arc conjugué et à deux rayons issus du pôle. On vérifie aisément que ces deux secteurs sont même surface, en les décomposant en tranches infiniment minces par des cercles concentriques ayant le pôle pour centre. Appliquons la formule (6) à l'arc du premier secteur. Les extrémités de cet arc étant à la même distance du pôle, les valeurs initiale et finale de 0 sont égales, et l'on a

Pour un arc de courbe ouvert quelconque, l'équation (6) donne QUATRIÈME CAS : Arc de courbe quelconque.

az

fp2dm

a2

c' + 2 ab 2

coi)

ab(0,

0,),

(0, et 0, étant les valeurs initiales de (0 et 0, to, et 0, étant leurs valeurs finales. Si l'on pose r2 = a2 + C2 + 2 ab , r'2 = 2 ab ,

on arrive à cet énoncé fd0 =. O.

En appelant fi l'angle au centre de ce secteur, on a

Le roulement accusé par le planimètre, lorsque la pointe parcourt un arc de courbe quelconque , représente l'aire du secteur limité à l'arc conjugué et à deux rayons issus du pâle, diminué de la somme des aires de

fc 1 (.0 =

deux secteurs circulaires ayant l'un pour rayon r et pour angle au centre l'accroissement (w, (i),) de to, l'autre pour rayon r' et pour angle au centre l'accrois-

La formule (6) devient donc.

f2pdw

az

+ 2 ab

011 1

-2

fp2 d

CO

az +

+ c2+ Zab

sement (02 00 de O. Des trois termes qui figurent dans l'expression de az les deux derniers dépendent seulement des positions initiale et finale du planimètre ; le premier terme dépend Tome XI. 1887.

9