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SUR L'EXTENSION DES PLAQUES ÉLASTIQUES.
MÉMOIRE
Toutes les intégrales ne seront pas,des solutions : il fau-
dra encore que les fonctions arbitraires puissent être et soient effectivement déterminées de façon que les composantes des forces intérieures équilibrent sur la périphérie celle des forces d'application.
et Y ;,;-
AddP:
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&Le, et sommons par rapport ào et
d.dp ff(ddPr+dd13:3)Y7 Pddp, O.
dcp g) X
2.7
En intégrant par parties sur toute la surface ABÀ'Br, trouve
Soient ÀBA.131 la section droite principale de la plaque,
M un point intérieur,
ff(P't
un point de la périphérie, P un
point quelconque pris en dedans ou en dehors de la courbe (fig. 10). Nous emploierons les notations suivantes
M;
la distance MP
x
a dad(3 .=
P,
celles du point [j.;
(c5.5)
PPP)
Les composantes X et Y s'expriment simplement en fonc,
tions de
(x, y) sont l'abscisse et l'ordonnée du point P; /1)
Pz.n (171) y
dg')
f(1)d7J +
X da -=. Pd 71
P
Y da .= 13,1,1d
Pz1
La substitution dans la formule précédente donne -I- 1/(x
ce)2 + (y (3)2;
x)» + r_Y)z;
la longueur de l'arc de section droite Ai.).; (X, Y) les composantes des forces d'application sur.la,génératrice
de (1, rapportées à l'unité de surface. P< P, les composantes intérieures relatives au point M; PEz , P,, Pt., celles qui correspondent au point p.; , Py , , .celles qui correspondent au point P, quand il est à l'intérieur de la plaque;
est la somme P. + P.
Écrivons les relations suivantes entre d'après les ,formules (1, 2, 3) : d P. 'dP.p d (3
d 1)8p
P, ,
(4) f X da P-
fYda
p
r dag = O. + if cr- log d a2
Cette expression n'est vraie que lorsque le point P est situé à l'extérieur du solide ; elle est en défaut dans le cas contraire, parce que le dernier coefficient différentiel y. Nous allons cherpasse par l'infini pour 0:7_, cher quelle valeur prend le premier membre de Pecruk-tion (4), lorsqu'au contraire, le point,(x, y) est à tintérieur du corps. § 37
0,
dl)p
di da 0. Retranchons ces deux équations membre à membre, après les avoir multipliées respectivement par xocdotc4), r2
Examinons d'abord un cas simple auquel nous ramènerons tous les autres. Supposons (fig. 11) que la plaque soit circulaire, qu'elle ait pour centre le point P, et que les forces élastiques soient constantes dans toute la masse.