Annales des Mines (1893, série 9, volume 4) [Image 284]

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THÉORIES RELATIVES A LA COORDINATION

d'eux étant commun à 2 pentagones, il n'y a en que 60 -30 côtés.

réalité

Les faces sont parallèles deux à deux, et il est facile de le voir si l'on se rappelle que le pôle de chaque axe de symétrie d'ordre q est situé au centre Q d'un pentagone; tout axe ayant deux extrémités, il correspond par conséquent à 2 pentagones inscrits dans deux petits cercles parallèles. En outre tous les axes de symétrie du polyèdre ayant une intersection commune en son centre, ce point est un centre de symétrie de la figure. Chaque côté d'un pentagone quelconque est parallèle à un autre côté et symétriquement placé par rapport au centre. Les côtés sont donc forcément disposés par paires sur un même grand cercle et le nombre des [grands cercles à tracer sur la sphère pour dessiner le dodécaèdre est de

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ou de 15. On a donné à ces 15 grands cercles le nom de cercles primitifs ou hexaédriques du réseau pentagonal, dont ils constituent la première catégorie. 2

Principe de dérivation des cercles du réseau.

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DES SOULÈVEMENTS.

Élie

de Beaumont, sous le nom de réseau pentagonal, comprend non seulement les 15 grands cercles fondamentaux, mais

tous ceux, en nombre indéfini, que l'on peut y rattacher au moyen du principe de dérivation suivant. Les points d'intersection de chaque catégorie de cercles sont pris

comme pôles des cercles de la catégorie suivante. On voit facilement que les 15 cercles primitifs donneront ainsi naissance à une catégorie plus nombreuse, et celle-

ci à, son tour à une troisième catégorie encore plus riche. La multiplication sera bientôt telle que, sans aller bien loin dans l'ordre des dérivations, les cercles formeront

sur la sphère un réseau à mailles suffisamment serrées pour permettre de l'appliquer à la représentation des

détails mêmes du relief terrestre. Mais comme conséquence à signaler dès maintenant du principe de dérivation, leur symétrie, c'est-à-dire leur importance, baissera à mesure que leur nombre augmentera. En résumé, les cercles auxiliaires dérivent des cercles fondamentaux par la suppression d'une ou de plusieurs des conditions qui fixent ces derniers dans la position limite qui leur appartient ; ils ne ramassent, en effet,

qu'une partie des points principaux du réseau. Les familles nouvelles ainsi obtenues reflètent encore d'une manière très marquée, quoique approchée, la symétrie

pentagonale, et c'est bien le résultat à obtenir si cette symétrie est réellement réalisée dans la nature. calégorie.

Cercles primitifs.

Les cercles primitifs forment les côtés et les apothèmes des pentagones ; assemblés trois par trois, ils constituent des systèmes trirectangulaires. Pour cela il suffit de démontrer que le côté AC (fig. 11) vient couper le côté RS du pentagone adjacent au point N mi-

A

lieu de R S. S'il n'en était pas ainsi, le prolongement viendrait en CK par exemple, mais alors en faisant tourner la figure de 1800 autour du point

N, pôle d'un axe binaire, le

Fig. U.

polyèdre étant restitué, le symétrique de CK serait CE' , soit une nouvelle direction, ce qui est impossible puisque le polyèdre est entièrement restitué ; donc K' se confond avec K, c'est-à-dire avec N. Le prolongement de AC est donc bien l'apothème CN et les deux angles CNR et CNS devant se superposer après la rotation sont droits. De même les côtés RS et PI sont apothèmes en P et en M. Les trois grands cercles MCN, N.SP, PIM forment ainsi Tome IV, 1893.

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