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THÉORIES RELATIVES A LA COORDINATION
DES SOULÈVEMENTS.
un triangle trirectangulaire qui est une face de l'octaèdre
précisément l'angle du triangle équilatéral DDD, fac-e de l'icosaèdre. Or, comme nous l'avons vu, l'icosaèdre est formé de triangles équilatéraux assemblés cinq à cinq et il est facile de voir que l'on ne peut assembler plus de cinq triangles équiangles autour d'un même point sur la
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régulier et dont l'aire est égale au 1/8° de celle de la sphère. En outre ces 3 cercles trirectangulaires sont parallèles aux faces d'un cube inscrit dans la sphère et conjugué à l'octaèdre. Les 15 grands cercles primitifs. peuvent donc former ou 5 systèmes trirectangulaires. 3
correspondant à 5 cubes et 5 octaèdres symétriquement placés.
La fig. 12 ci-dessous présente les intersections des cercles primitifs pour 4 pen-
tagones adjacents chacun d'eux étant respectivement ,
H
côté et apothème ; on a adopté.
les mêmes lettres pour les. points analogues. La considération des sysI tèmes trirectangulaires monFig. 12. tre que chaque point H est le pôle d'un primitif IIH, l'arc MCN de la figure précédente ou HH de la figure actuelle étant égal à un droit. On voit en outre que chaque pentagone renferme 5 triangles isocèles IDI ou 10 triangles rectangles scalènes DM abso-
lument identiques entre eux et au nombre de 10><12 ou 120 pour la sphère entière. Ce sont les mailles élémentaires du réseau ; chacun de ces triangles pouvant reproduire par symétrie tous les 119 autres, comme il est facile de s'en assurer, il en résulte que tout point ou pôle placé dans l'un d'eux se retrouvera identiquement dans tous les autres. Angles et cûte's du triangle scalène élémentaire. -L'angle en H étant droit, il:reste à calculer les angles IDH
et DM. L'angle IDH est la moitié de l'angle HDII, lequel est
sphère. Leurs angles seraient, en effet, de
360°
et la formule s=À+B+C 180°, qui naître
ou de 60°
fait con-
l'aire d'un triangle sphérique, nous donnerait
s= 3>< 60° 180°=0, ce qui est impossible. 360°
Dans le cas actuel, l'angle HDH est donc deOU 5 de 72° (*)- et l'angle IDH
72°
= 36°.
Quant à l'angle DIH, il s'obtient facilement au Moyen
des deux autres et de l'aire du triangle. L'aire de la sphère étant de 720° (*) , celle du triangle sca720° =6°. On a donc lène élémentaire est de 120
D I H + 900 + 36° 180° = 6°,
d'où
D I II
60..
Le triangle scalène élémentaire DHI est donc formé par
2 primitifs se coupant à angle droit au point H; 5 primitifs se coupant à 360 au point D; 3 primitifs se coupant à 600 au point I.
La somme des côtés du triangle scalène
The'orème.
(*) On peut vérifier facilement que l'angle du triangle équilatéral de 720 est bien celui de l'icosaèdre. L'aire de ce triangle étant s 3 x 720 {80°= 360 et celle de la sphère, formée de 8 triangles trirectangles S = 8[3 x 90°-1801 =7200; la sphère renferme donc 7200= 20 de ces triangles, ce qui correspond bien 36°
à l'icosaèdre.,
