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ACTION DES PAROIS
.304 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA MACHINE A VAPEUR
cette somme devant comprendre toutes les racines positives de l'équation transcendante. Si je fais Fr(x) = 1, on a l'identité suivante VI
sin nX cos nx. 2nX ± sin 2nX
Par conséquent, les conditions (10) et (11) sont vérifiées.
pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et X. Quant à la possibilité de développer une fonction en une -série de cosinus d'arcs nx, que Fourier avait admise sans .démonstration, elle a été démontrée par M. Poincaré
(Théorie analytique de la propagation de la chaleur ; Paris, Carré, 1895) et est la conséquence d'une .théorie de Cauchy sur le développement d'une fonction arbitraire .en série de forme déterminée. L'intégrale générale (4) s'applique exactement aux parois planes des cylindres de machines à vapeur et III.
approximativement aux po
rois cylindriques. Mais, pour faire cette application, il faut
d'abord déterminer la fonclion F (x), qui représente l'état initial des températures dans la paroi, en se basant sur ce que la température 0 de la source est une fonction périodique du temps.
L'expérience Montre que le flux de chaleur échangé entre la vapeur et là paroi FIG. 2.
d'un cylindre ne pénètre qu'a une profondeur limitée, jus-
qu'en A par exemple (fig. 2), et que le restant OA de la paroi est, par suite, soumis .à un régime constant. La
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paroi perd de la chaleur à l'extérieur, si elle est baignée par l'air ambiant, ou en reçoit, au contraire, si elle est plongée dans un milieu ayant une température plus élevée que la sienne propre (cas des enveloppes de vapeur). Dans
les deux cas l'état de la température de la partie OA sera représenté par une droite AA', s'il y a refroidissement extérieur ; AA", s'il y a réchauffement extérieur. Dans la partie AX de la paroi, l'état de la température est: représenté par une courbe inconnue Aa, qui est tangente en A soit à AA', soit à AA". Il s'agit de trouver quelle est cette courbe Aa, à l'origine du temps, c'est-à-dire au commencement d'une révolution, lorsque la marche de la machine est uniforme. Pour simplifier, nous remarquerons que, dans les machines sans enveloppe de vapeur tout au moins, l'échange extérieur de chaleur est faible comparativement aux quantités de chaleur échangées intérieurement, d'où il suit que la droite AA' est très rapprochée de l'horizontale OA. Ce fait a été vérifié expérimentalement par M. Bryan Donkin. Nous pourrons donc supposer tout d'abord que AA' se confond avec OA, ou qu'il n'y a pas de refroidissement eixtérieur. Cette restriction sera d'ailleurs levée un peu
plus loin.
Si nous envisageons une série de révolutions uniformes, en nombre suffisamment grand, il est évident que la paroi finit par acquérir un état de chaleur permanent, variable dans chaque révolution, mais se reproduisant périodiquement, de même que l'état de la source de chaleur. Cet état permanent est donc déterminé et résulte uniquement de
la loi des températures de la vapeur. Mais, au début de notre série de révolutions, l'état de la paroi est complète-. ment arbitraire et nous pouvons supposer, par exemple, que la température y est constante et égale à V. pour O, origine de la première révolution. En partant de là, nous allons pouvoir trouver les états successifs de la