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306 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA MACHINE A VAPEUR
paroi au début de chaque révolution et finalement l'état permanent.
Nous supposerons d'abord que le diagramme IV. des températures de la vapeur dans le cylindre est fermé ou continu, c'est-à-dire que, à la fin d'un tour, la température, par suite de la compression et de l'avance à l'ad-
mission, est ramenée à sa valeur initiale O. ou zéro. Soit t la durée d'un tour. L'équation (4) nous donne à chaque instant l'état de la paroi pendant la première révolution, eh y faisant
F (x) = V étant admis qu'on connaisse le diagramme des températures de la vapeur,
par t, et remarquant que pour
f (t) . En remplaçant t
comme pour t = o, 0 o, on aura l'état de la paroi à la fin du premier tour; il vient V,
E
11,
cos ?1X à multiplier par cos nx et à intégrer de 0 à X. On sait que, lorsque les quantités n sont différentes, le résultat de l'intégration est nul. IF n'y a donc qu'un seul terme
de la série qui donne un résultat différent de zéro. L'intégration s'effectue alors sans difficulté, et il vient
E 2nX =V
la quantité V-1 donnée par l'équation ci-dessus. L'intégrale définie qui se trouve dans le premier terme de (4) est donc
Lux +4-nsin 2nxi oFx (x) cos nx dx
Lnx +41:in 2nx fo3Cos nx drpi
\-1
,
4 sin nX
4n.
2nX+ sin
v
4 sin nX
rr
_ho
2/TX + sin 2nX,.) oc e
4 sin n.X. sin 2nX 2nX
e
"21 1 cos nxe- kOt
4 sin nX cos nxf idee- "2 :g 'r) 2nX H- sin 2nX o
nous aurons En faisant dans cette équation t l'état V, de la paroi au bout de la seconde révolution. vient V2
4 sin nX cos 71X e-2hOti 2nX + sin 2nX
4 sin nX 2nX -H sin 2nX
°I 2nX4 +sinsinnX2nX cc's nxe-kieti
Sous le signe f, il y a une série infinie de termes en
e- len2t
('fi 4 sin nX cos nx e- kot J sin 2nX c0e-"2"1-T) 2nX o
2nXfoVx1 cos nx dx
t, 4 sin nX cos nxf dOe - AR' (I t sin 2nX 2nX
fF (x) cos nx dx
son origine, est alors
kn2(ti
Si j'applique maintenant l'équation (4) au deuxième tour, considéré indépendamment du premier, la fonction F (x) qui entre dans l'équation (4) n'est autre que
sin 2nX
°I 2)2X + sin 2xX
o=
4 sin nX
-4n
L'équation du mouvement de la chaleur pendant la seconde révolution, le temps t étant compté à partir de
4 sin nX cos nx e- k2itti si n 2nX 2nX
E 2nX -I - sin 2nX cos 11Xf (Ne
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ACTION DES PAROIS
cos or (1
kOti) f d0e- /rra Ut-
La valeur de l'état initial F (x), au début de la troisième révolution, n'est autre que V0. Nous pouvons donc établir l'équation de la chaleur et l'état de la paroi à la fin du troisième tour, comme nous venons de le faire pour le .