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652 BASES D'UNE THÉORIE MÉCANIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ
Nous chercherons h-
J
(A 2
+ B2 +
la
C'2 )C/T ,
valeur
minima
de
l'énergie
et nous déterminerons la valeur
correspondante de (A, B, C) en chaque point de l'espace. Supposons le problème résolu, et traçons, dans tout l'espace, des lignes tangentes au vecteur M, et des surfaces normales à ces lignes, à travers lesquelles le débit est nul. Ces surfaces ne peuvent pas couper un courant, sinon ou pourrait tracer sur la surface un circuit embrassant le courant, et le débit à travers ce circuit devrait être égal ki\ ce qui est impossible, puisqu'il est tracé sur une surface de débit nul. Si une des surfaces est tangente au courant, elle doit passer par le courant tout entier; sinon les surfaces parallèles voisines couperaient le courant. Il ne peut y avoir deux surfaces parallèles voisines, l'une enveloppant entièrement le courant sans le toucher, l'autre intérieure au courant. En effet les débits sont constants à travers toutes les normales communes à deux surfaces parallèles ; le débit total est donc nul à travers un circuit constitué par deux de ces normales et par deux ligues tracées sur les surfaces parallèles. Or on pourrait tracer un
BASES
D'UNE THÉORIE
MÉCANIQUE
DE L'ÉLECTRICITÉ
Supposons une variation virtuelle des débits, qui augmente de s la valeur Mds de l'intégrale
f
Adx + Bdy + Cdz
prise entre deux surfaces de débit nul. Md$ a la même valeur sur toutes les lignes normales aux deux surfaces ; pour chacune de ces lignes, il s'accroîtra de s. L'intégrale tir/ Mds étant constamment égale
circuits des courants (fig. 31).
à i-i le
long d'une ligne de débit, elle ne pourra s'accroître de s sur un élément ds sans diminuer de . sur un élément ds . {
L'intégrale j" Wdz, prise entre deux surfaces de débit nul, peut s'écrire :
Elle s'accroîtra de 2eMc?s
'—
~ J* s
Mrfw, tandis
qu'elle diminuera, dans un autre intervalle entre deux surfaces, de
2 J'M.ydu)^ Î
Pour que la variation virtuelle
ne puisse pas diminuer la valeur de l'intégrale, étendue à tout l'espace, il faut que l'on ait :
j
Mrfw = O
pour toutes les surfaces de débit nul passant par le circuit i. Posons :
pareil circuit, embrassant le courant, qui devrait donner un débit total i. Donc toutes les sur."aces de débit nul passent par les
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Il vient en intégrant pour tout l'espace :
/ mh = i f ™» = ~ h J uds = 2