Annales des Mines (1857, série 5, volume 12) [Image 184]

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MOUVEMENT RELATIF D'UN CORPS SOLIDE

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PAR RAPPORT A UN SYSTÈME INVARIABLE.

Or np, tu n'est autre chose que la projection sur Oz de l'accélération angulaire composée ; et, pour l'obtenir, on peut substituer aux axes Ox , Oy, la considération des droites rectangulaires OA , OB, situés dans le même plan. En supposant = o dans les deux premières formules (2') , on obtient 0), cos? cos A, we (sin y cos° cos X + sin 0 sin ),) , pour les composantes de w, sui-

vant OA et OB, par suite np,- pn, = lw, (- sin y cos 0 cos X + sin 0 sin )) d? nnoecosycosX=to, [ cos X cos y sin 0d t+ sin y cos sin X sin

-

dt

dg, dw, COS sinA cp sin 0 dt

dt

dO

sin X

La projection n cos a + p cos p sur OZ de la rotation w se réduit évidemment à celle m sin 0 Si il

dt

Il est facile de reconnaître que le second membre de l'équation (p) est indépendant de la position des axes Ox et Oy dans le plan x0z. A cet effet, portons à partir du point 0, dans un sens convenable, sur la perpendiculaire en ce point au plan déterminé par OZ et w, une longueur r égale au double de l'aire du triangle ayant pour côtés l'unité et w,, dirigés suivant les directions

de OZ et w ; on a, en appelant rs, r, r,, les projec-

d cos 0

tions de r sur Ox, 0y, Oz

dt

g cos p =1-, p cos y n ces y = l'y g cos a n cos p COS CG ,----- r,,

y sin 0) +

La formule (6') devient, en remarquant que p2)= A (12 + In') =A

A (n2

(

sin20--L

,

sup-

posant mo o, 1, o et négligeant dans la valeur de Cg' le terme en toc', 610'

A

(6")

(w, + sin

0) de

21,ty f (cos()

[A(ncos a+ p cos 5)+Cqcos g cos p) +p, (q cos

Ct

(2A C) g, (n cos p

projections de D), et de r sur le plan x0y multiplié par le cosinus de leur angle. Nous pouvons donc substituer aux axes Ox, Oy les droites OA et OB ou supposer ,P=o, P=.- 900_ 0, y .,--- 0, a "=--> 90°, g, = w, (cos 0 sin À + dO

cos X sin y sin 0), remplacer n et p par 1 = Tit et in =-_ d?

Occupons-nous maintenant de la transformation de la formule (8') qui devient dans le cas actuel : d

et n, rx + r 0r y n'est autre chose que le produit des

cos po) +

sin y sin 0) 2 Cgowe [cos) (sin yo sin 00 cos 0)] sin X (cos

(i3)

20 de m, et comme y = 0, on a

A (n cos a +p cos ) + Cg cos y = A sin' 0(IP+ Cg cos 0. dt

et en intégrant g = go- wo cos X (sin y, sin 00 sin cos 0). +(A, sin X (cos

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C [n,(p cosy -

n cosy)] + p cos a).

.

sm 0; //cet p, par we cos pcos ),, et w,(_ sin p cos 0 cos),

+ sin 0 sin À) ; il vient ainsi, pour le second membre de (p) c (,,, [cos ? cos), (sin 0 cos A dO

sin 0)(sin y cos 0 cos),+ Ag dt

+ sin 0 sinX) sin 0 d-t]+ (2 A

C) we sin 0 dO(cos 0

dt

-H cos X sin y sin 0),

et en réduisant et négligeant le quarre de w

sin), +