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THÉORIE DU RÉGULATEUR DUVOIR.
.THÉORIE DU RÉGULATEUR DUVOIR.
Or cette condition renferme à fortiori celle que nous avons trouvée en premier lieu (14); il suffit par conséquent de la conserver seule. 14.Voici donc comment les choses se passent. Si l'on
suppose d'abord une vitesse infinie, l'équation (1. i) exige qu'on ait sin 2? o, c'est-à-dire que l'anneau soit couché sur l'axe ou à angle droit sur sa direction. Si la vitesse diminue successivement tout en restant supérieure à la limite w,, les deux positions d'équilibre
et en outre
(16)
to 2> > a
21( cos 29"
21(w9 cos 2" eu.'
< y",
cos
2y > 005 29";
Donc, à fortiori 2Ktd' cos 2n
rapprochant. Elles se rejoignent sous l'angle y" toujours
ece
quitte plus jusqu'à ce que la vitesse s'annule. 15. Ces deux situations d'équilibre ne sont pas du reste placées dans les mêmes conditions. La position inférieure est toujours instable et la portion supérieure toujours stable. La dernière sera donc seule réalisable par l'expérience. Considérons en effet la position rapprochée de l'axe,
et supposons qu'on en écarte l'anneau de l'angle dy. Si l'accroissement du moment de la force élastique l'emporte sur celui du moment de la force centrifuge, cet excédant tendra à rapprocher l'anneau de sa première position, et l'équilibre sera stable. Sinon il aura pour effet de l'en écarter encore davantage, 'et il y aura instabilité. Or f (y) est précisément la différence de ces deux moments (12), f(?) clp sera donc celle de leurs accroissements, et par suite le signe positif ou négatif de f'(?) indiquera la stabilité ou l'instabilité. Mais on u: 21(to2 ça-
cos'2.?
>1.
De plus, pour la position inférieure
se détachent peu à peu de ces extrêmes et vont en se compris dans la première moitié du quadrant lorsque la vitesse se réduit à j,. Au-dessous, l'équilibre n'est plus possible et l'anneau retombe sur l'axe, qu'il ne
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et par suite r(y) est négatif : ce qui démontre l'instabilité. On arriverait à la même conséquence en supposant qu'on rapproche légèrement l'anneau de l'axe. Considérons maintenant la position supérieure et supposons-la d'abord comprise dans la seconde moitié du quadrant. Si l'on relève un peu l'anneau, le moment de la force centrifuge diminue, celui de la tension augmente; la résultante ramènera donc le corps à la première position. Il en sera de même si l'on incline légèrement le corps vers l'axe. Si. la position supérieure est comprise entre y" et 45°,
il est facile de voir qu'elle est encore stable. En effet, dans cette première moitié du quadrant, les choses se passent comme dans le premier cas, et le signe de i'(?) tranche à lui seul la question. Mais f (9) que nous avons reconnu négatif au-dessous de ?" s'annule pour y = (16), car pour cet azimut la vitesse est égale àw. Elle
devient donc positive au-dessus, sans quoi il faudrait que (1(p") fût nulle, ce qui n'a pas lieu (12). L'équilibre est par suite encore stable dans cette partie du quadrant. 16. Considérons en particulier le cas où le ressort