Annales des Mines (1870, série 6, volume 18) [Image 165]

Cette page est protégée. Merci de vous identifier avant de transcrire ou de vous créer préalablement un identifiant.

A L'HORLOGERIE.

APPLICATION DE LA MÉCANIQUE

324.

d'Archimède, encastrée à se,s deux extrémités dans des pièces

assujetties à rester respectivement à des distances consfantes de l'origine de la courbe. Supposons que l'encastrement intérieur soit fixe, et que sa distance à l'origine soit assez grande pour que plusieurs spires centrales (trois ou quatre au moins) soient supprimées, tandis que l'encastrement extérieur ait la faculté d'éprouver un déplacement rotatoire autour de l'origine géométrique de la spirale. Nous nous trouverons dans les conditions du ressort spiral de l'échappement libre-dit il bascule, que nous avons principalement en vue de considérer, et pour lequel le déplacement angulaire de l'encastrement extérieur est très-petit. Mais avant d'aborder cette question, nous allons, sinon établir, du moins rappeler quelques propriétés fondamentales de la spiral& d'Archimède. Soient

r = a0 l'équation polaire de la courbe ; rayon vecteur V l'angle formé par la tangente avec

correspondant ;

s la longueur de l'arc compté à partir du point dont les coordonnées sont r, et: 00 le rayon de courbure de- la courbe.On . a :

tang V=

(10

dr

0. cos y

,

sin V=

Vi + 0'

O

+

0

v 0_02de,

as= = d-(i + 02) ci0,

2+0'

clfi+dv do

a.(

L'angle 00 correspondant à l'encastrement extérieur du ressort spiral, est; comme nous l'avons supposé, au moins

égal à trois ou quatre fois 27z. On peut sans inconvénient négliger l'unité devant 0', et les formules précédentes donnent

cos V = 0

g =a

v

sin V =

2

-- 0,'")

0

o

(0'

2a

= a0

32 â

r

'

\l,asa+

Cela posé, soient (fig. 3): 0 l'origine géométrique de la courbe ; A, le point d'encastrement intérieur et fixe de la lame ; A, son point d'encastrement extérieur, assujetti à rester à une distance constante du point 0; r, r,, r, les rayons vecteurs partant du point 0 et aboutissant respectivement à un point quelconque in de la spirale, et aux points ;11, A, 0, 6: 0, les angles polaires correspondants-;. x, y les coordonnées du point in par rapport à la' droite O'x qui joint lés points 0 et A, et à sa perpendiculaire au premier de ces poil] ts. F. le moment d'élasticité de la lame. Le nombre des spires comprises entre les points 0 et A, étant assez grand, comme

nous l'avons supposé, on peut, sans erreur appréciable, considérer l'encastrement en A, comme étant perpendiculaire au rayon vecteur correspondant. Soient de- plus ::

la variation que l'on fait éprouver à l'angle 0, et dont nous négligerons les puissances supérieures à la première; x', y' ce que deviennent les coordonnées du point m après la déformation

p le rayon de courbure correspondant ; [IQ les réactions normale et tangentielle de l'encastrement A, sur le ressort ae le moment des forces élastiques développées dans la section normale au ressort en A, par rapport au centre de gravité de cette section, augmenté du moment de la force