Annales des Mines (1870, série 6, volume 18) [Image 173]

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A - L'HORLOGERIE.

APPLICATION DE LA MÉCANIQUE

5,4 0

remarquant,que.. rcos r'u' est le déplacement-éprouvé par le point a de S. Nous avons ainsi deux relations- entre.les déplacements angulaires. &t, Li en fonction de an, an', ou du temps t qui est lui-même une inconnue de la question, il nous faut donc en trouver une troisième que nous obtiendrons en exprimant que les tangentes en maux deux courbes coïncident. De la relation

dr -1rda'

cot V

(e)

on tire

v

[- (la..314 d'r

dr da r-

9' da2

pour la 'variation éprouvée par1"angleY, correspondant à

d'où

--coS'T et

rp

par suite -.Sin2 V

dV

er

dr

r2 da'

341 sin TV cos2V

-r-de sin' V sin V cos2 Y,

dr

r'2

da 2

p sin v

.

r (1 + cos' V),

expression que l'on construira géométriquement sans difficulté en remarquant que p sin V est la distance du point a à laprojection du centre de courbure correspondant sur Oa, et que r cos2 V -est laprojection de r sur la:tangente reprojetée ensuite sur la direction de ce rayon. Nous aurons donc :

telle.,aa,an,de,..lorsque l'on'va du peint a-'-de,ar au SV = (1 + 2 coeY

point cle,-cette; courbe 'correspondant à sa position a' 'c'. 'Au moyen des valeurs (a) . et (d) cette formule se met facilement sous la forme

er) (oot

,

SV = (cos- V_

(6)

r

dr,t

'

sirn v)(Sa

SV'= (1 + 2 cos' V'

on).

Sn),

p'sirn'17')(.8"'-4n1

L'angle des deux tangentes en m, s'obtiendra en faisant

'

Avant d'aller plus loin, nous allons chercher à interpréter géométriquement l'expression ,,sinW..1En dési-

varier V, V', 0 , cd, les variations respectives de ces deux dernières quantités étant respectivement h an, lcd In': On a ainsi : s= SV+ Sa+ SVH- Sa', 011

gnant par p le rayon de courbure -de_ aciren a, et remardr

(8)

E. == (lCC ôn) [2(1+ cos 2V)

quant que d (V+ a) est l'angle -de contingence et .-- l'é-

cor)

lément d'arc, on:a :

-p

'dV

da

dr

dr

cos"V

(dV cos y

Or, de la formule (e) on tire : 1

dV

sin'V dr

d'r da

t dr

-1- dct' dr 772, da'

,

p stn V j

')[2 (1 -1-

1.

p sin V'

.

- su) V).

On voit ainsi que pour que la collision dés corps ait lieu comme on l'a supposé, il faut que l'angle e soit très-petit ce qui était visible à priori, et l'on pourra alors dans les expressions (5) remplacer sin s par e, avant de les substituer dans la formule (8). En remplaçant dans le résultat In, an' par