Annales des Mines (1866, série 6, volume 10) [Image 121]

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9iio

t.()

2i1 + 21i

=

y

-2(i+a)/H 2i(i+ OP]. 2k7

2

(33)yr

- - + 2e 2

k9

D'abord.elles satisfont toutes ;à l'équation ..aux 'différences

J2,17

k.12)1y

=

(r,

il).

Maintenant supposons x +k1 compris entre 2i et 2i.1+ 21. Comme kt x en diffère de 2x qui est plus petit que 21, 1c1-- sera compris ,entre 211 et 211 + 2/

ou entre 211 et

211-21.

Dans le premier cas, on aura, si i est pair, en substituant tour à tour x + kt et /a x pour dans les formules précédentes,

=x+

(55)

2lly

x

.

F-22 (let

Si j est impair, on aur, toujours dans le premier cas, (36)

u

x

2(i +

)ly

+

2ity

,

1c2

et, si i est impair, x

[(x - /)= + (kt

deux

Au contraire, si l'on considère l'autre extrémité de la tige qui répond à x =1, ce sont les équations (57) et (58) qu'il faut prendre, car, pour x =1, la différence entre la .x et kt+ x est 21. Or ces équations (37) et (58) donnent toutes deux

pour x=l.

let)%

u x(kt il)

(38)Y

partielles du second 'ordre (2). De plus elles vérifient les conditions imposées aux extrémités. En effet, si l'on considère l'origine de la tige qui répond à x =o., ce sont les équations (55) et (56) qu'il faut prendre, car pour x = o la diffé,rence entre la x et kt -1- x est nulle.. Or en faisant x o dans les équations (5.5) et .'(56), elles donnent toutes

(lx

Dans le second cas, on :aura de même, si i est pair, (37)

ainsi que l' allongement proportionnel -tue

quantités sont données, commue on voit, sous une forme très-simple. Il est facile de s'assurer que les équations (55), (56),. (57), (58) vérifient toutes les .conditions ,du problème.

et pour i impair (34)

vitesse

pour tous les points et à une époque quelconque. Ces

On obtient ,de même pour i :pair .211+2/

.22 1

Telles sont les formules très-simples qdi expriment toutes les lois du mouvement. On en ,déduira iimmédiatement la

Si i est impair, on a, après les réductions, (32)

.dudu DE MÉCANIQUE.

SOLUTION DE DIVERS PROBLÈMES

1)2

(i2

1)12].

On sait de plus qu'on a satisfait à l'état initial, puisqu'on a alors simplement u Enfin .on voit que pour chaque valeur de x, la série des du du , correspondantes à ainsi que ae valeurs de u et de dx 7-i celles de t croissant indéfiniment forment une suite continue, malgré qu'il faille employer successivement les diverses formules (55), (56), (57) et (58). fiela tient à la