Annales des Mines (1866, série 6, volume 10) [Image 136]

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DE MÉCANIQUE.

SOLUTION DE DIVERS PROBLÈMES

250

tù'xs

(.0212

2k2 x

u=

( G sin 74 (kt

6/c2

[cos (2tut) + sin(2L) !sin .---.): + [sin

toutes deux u

Tc

4Ea w

toutes deux à la condition (95) imposée pour cette extrémité.

Ci

24)

7 (kt-4a-1)c.. 7 (kt (1i1-1)

X

COS

(1x)

2(01 COS

5° Si

1 < + kt < 4 i1 + 1

et

<kt x <411+1,

411

w2x8

to212

(i P2)

Gh

+ 2Ea w sinti Et

40

G

6k,

1 .-1-- ----F2 X

,

CC

sin -4

sm eh') [sin 2) (kt k k I_

(ft

PROBLÈME V.

x

217)

cos

2O,

(kt

ail

Slil

2O12:

4i1-1<x+kt<411+1 4i1

31 < kt

x<

d'y

1,

(114)

on aura

ou

) " (113)

c

1

X

(02S3

61e

Gk sin sin )(x + kt) + 4E... 2Ea 4 4, G

Il s'agit des vibrations transversales d'une corde tendue. Celle-ci étant en repos et son origine maintenue fixe,

on soumet son extrémité à un mouvement alternatif et l'on demande le mouvement vibratoire qui en résultera pour la corde. On sait que l'équation aux différences partielles est

enfin, si

et que

On formerait de même très-facilement, à l'aide des formules qui précèdent, les valeurs de u pour les premiers instants du phénomène, alors que x -I- kt et kt x ne sont pas deux quantités chacune supérieure à 1. Au moyen des valeurs de u, on obtient ensuite immédiadu et de-1, c'est-à-dire les vitesses et tement celles de les allongements proportionnels.

on aura ç te =---

o pour x = o. Pour une raison semblable,

les formules (iii) et (115) conviennent à l'extrémité de la tige et il est facile de s'assurer qu'elles satisfont

G k sin 7'

sin *n G 4 flEa w

X)

.2E.-

1)G/ 2Ea

(41

I,

reo*.t)±sin(2.t)is

24)X

251

1)G

(42.

Ea

Gk - sin

4Eto

a

sin -

2

d'y dx' glT

4

4

24)

+ COS [in -k (kt-411+ l)sin 7 (kt 411+1)11cos7 2col COS

(1x)

en appelant p le poids et 1 la longueur de la corde. De plus, T est sa tension. En désignant par a l'allongement proportionnel correspondant à cette tension, on a, en conservant les notations antérieures, T = Ecrx

Les formules (il o) et (112) conviennent évidemment à l'origine de la tige, puisque, pour x=_-- o, la différence entre x-1- kt et kt x est nulle. Et, en effet, elles donnent

et (115)