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DE MÉCANIQUE.
SOLUTION DE DIVERS PROBLÈMES
250
tù'xs
(.0212
2k2 x
u=
( G sin 74 (kt
6/c2
[cos (2tut) + sin(2L) !sin .---.): + [sin
toutes deux u
Tc
4Ea w
toutes deux à la condition (95) imposée pour cette extrémité.
Ci
24)
7 (kt-4a-1)c.. 7 (kt (1i1-1)
X
COS
(1x)
2(01 COS
5° Si
1 < + kt < 4 i1 + 1
et
<kt x <411+1,
411
w2x8
to212
(i P2)
Gh
+ 2Ea w sinti Et
40
G
6k,
1 .-1-- ----F2 X
,
CC
sin -4
sm eh') [sin 2) (kt k k I_
(ft
PROBLÈME V.
x
217)
cos
2O,
(kt
ail
Slil
2O12:
4i1-1<x+kt<411+1 4i1
31 < kt
x<
d'y
1,
(114)
on aura
ou
) " (113)
c
1
X
(02S3
61e
Gk sin sin )(x + kt) + 4E... 2Ea 4 4, G
Il s'agit des vibrations transversales d'une corde tendue. Celle-ci étant en repos et son origine maintenue fixe,
on soumet son extrémité à un mouvement alternatif et l'on demande le mouvement vibratoire qui en résultera pour la corde. On sait que l'équation aux différences partielles est
enfin, si
et que
On formerait de même très-facilement, à l'aide des formules qui précèdent, les valeurs de u pour les premiers instants du phénomène, alors que x -I- kt et kt x ne sont pas deux quantités chacune supérieure à 1. Au moyen des valeurs de u, on obtient ensuite immédiadu et de-1, c'est-à-dire les vitesses et tement celles de les allongements proportionnels.
on aura ç te =---
o pour x = o. Pour une raison semblable,
les formules (iii) et (115) conviennent à l'extrémité de la tige et il est facile de s'assurer qu'elles satisfont
G k sin 7'
sin *n G 4 flEa w
X)
.2E.-
1)G/ 2Ea
(41
I,
reo*.t)±sin(2.t)is
24)X
251
1)G
(42.
Ea
Gk - sin
4Eto
a
sin -
2
d'y dx' glT
4
4
24)
+ COS [in -k (kt-411+ l)sin 7 (kt 411+1)11cos7 2col COS
(1x)
en appelant p le poids et 1 la longueur de la corde. De plus, T est sa tension. En désignant par a l'allongement proportionnel correspondant à cette tension, on a, en conservant les notations antérieures, T = Ecrx
Les formules (il o) et (112) conviennent évidemment à l'origine de la tige, puisque, pour x=_-- o, la différence entre x-1- kt et kt x est nulle. Et, en effet, elles donnent
et (115)