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SOLUTION DE DIVERS PROBLÈMES
.274
DE MÉCANIQUE.
cédents, la vitesse initiale nulle, puisqu'il faut qu'elle soit compatible avec celle qui résulte des conditions imposées aux extrémités. Je fais maintenant (55)
On a maintenant pour déterminer Y les équations d'Y
Y =- Y, + Y,
d'Y
=
(Y).=.
ig! cr-i"
(Y).=1= 0,,
0,
(d"IT
et
)+
cos
v C,
x e
+ D,
2
sin col 2
Je détermine les quatre coefficients A B C, et Di en substituant y, pour y dans les quatre conditions relatives aux extrémités, ce qui donne immédiatement 1
Y =,end y [(A e"
(.0
mx -I-- A',,, cos mx+ e-
.,..,
+ L'lel
- r,
2
"1
me '
13',,
-
(7, 1,
R
I
+ (Cm sin mx
t)
+
-,---
eVIc
2
sin nz'kt
_e
C', cos mx
em.+
e"- e-'"' 2
2
COS
nz'kt].
(2 1
Les .conditions imposées aux extrémités conduisent faci-
D1 =_-2- r,
lement à cette conséquence que tous les coefficients sont nuls, excepté Am et Cm, et que
d'où l'on conclut, après quelques réductions,
gx>")
cos
SU) m/ = o Ou
e-0-i2Ex
S111 01/
t\/-,- il:
It 717 =_-
(59)
0)1
/
COS
+ cm' )
(8)
(
y=-
dt
On a ici
sin IV-17, B
(dy,\
= 0
des Sciences).
-
r
A1=
dt)
Poisson a donné la solution, dans tous les cas possibles, de ce dernier genre de question, les conditions imposées aux extrémités ne variant pas avec le temps (voir sa Mécanique et son Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques, t. VIII des Mémoires de l'Académie
/-k
cos
( dY
(Y)1=0= 0, x
\Ak7x
e
d x' x=i
x2
(\t2- x)
(56)
(57)
275
e
k2
+e
'k
i étant un entier quelconque. TOME X., 1866.