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A L'HORLOGERIE. APPLICATIONS DE LA MÉCANIQUE
de
0
=K (a
p) sin Kt,
9. Hypothèse d'une résistance proportionnelle au carré de la vitesse. En considérant comme ci-dessus l'oscillation à partir de laquelle on commence à compter le temps, on a
= (2_ M cos Kt.
de'
(PO
La première valeur de t après t = o qui annule la vitesse angulaire est toujours
227
(5)
dl' =
(e
Nous supposerons, comme cela a lieu dans la réalité, que
T=
7C
de sorte que la résistance considérée n'altère pas la durée
la constante y soit assez petite pour que l'on puisse en négliger les puissances supérieures à la seconde, et nous poserons en conséquence* O = 00+ YOi -1-Y2e
de l'oscillation.
Mais en appelant ct, la valeur correspondante de 0, c'està-dire l'amplitude de la demi-oscillation ascendante de l'oscillation totale considérée, la formule (5') donne
étant des fonctions de t indépendantes de y. (*) On peut obtenir facilement une intégrale première de l'équation (5) en posant d0' u
t'
d'où Il
d20
est clair que la durée de l'oscillation suivante sera
encore donnée par la formule (4') et que l'amplitude de sa partie ascendante sera - 2p,
___ 2
2f3
et ainsi de suite.
dt2
de sorte qu'il vient
dit
dO
202yu
équation linéaire qui, d'après une règle connue, a pour intégrale.
U = d0' D = 7,7,2 _
Il suit de là que la résistance constante n'altère pas la durée des oscillations, que le mouvement reste isochrone, mais que les amplitudes successives diminuent en progression arithmétique dont la raison est 2r3 ; de sorte que au bout d'un certain temps elles seront complètement anéanties. Le nombre n d'oscillations que le pendule exécutera depuis l'origine du temps jusqu'au moment où tout mouvement aura cessé sera la plus grande solution entière de l'équation n 2p
2100
+ ce2My8
C étant une constante arbitraire que l'on déterminera par la conu pour t o. 0, O _= dition Je suis arrivé à ce mode d'intégration en 1856 dans une de mes leçons à la Faculté des sciences de Besançon, et je l'ai indiqué dans une note insérée tardivement dans les Annales de mathématiques, 186o. M. Yvon Villarceau dans un savant et intéressant mémoire sur le réglage des chronomètres (Annales de l'Observatoire :857) est arrivé d'une autre manière à' l'intégrale ci-dessus qui ne peut faire connaître que t en fonction 0 et encore au moyen d'une intégrale non réductible. Les valeurs successives du temps ne pouvant s'obtenir que par