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DU RENDEMENT RÉEL DES MACHINES A VAPEUR. 687
ÉTUDE THÉORIQUE
plan médian, la valeur de y doit être une fonction paire de x. Par conséquent il faut effacer le terme en sinus de la solution particulière, qui se réduit à t
ae
Comme l'a montré Fourier, cette équation a une infinité de racines réelles et est susceptible d'une interprétation
géométrique simple qui permet de trouver toutes les racines.
cos nx.
Soit
Dans cette expression a et n sont des constantes à déterminer. La solution générale sera formée par une somme de solutions particulières en nombre infini, dans chacune desquelles les constantes a et n seront différentes. Donc la solution générale est de la forme
cotg a,
u
l'équation d'une ligne dont l'arc S est l'abscisse et u l'ordonnée ; et soit : U
-
y = a,
k"' COS ni X + a2e-k"t cos n2x
Elle contient une double série infinie de constantes arbitraires.
l'équation d'une droite dont E et
.g.c
désignent aussi les
coordonnées. L'inconnue e est l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite.
VI. Détermination de n. Les valeurs de n se déterminent facilement à l'aide de l'équation (2).
Considérons, en effet, une solution particulière y = a e-k112 t cos nx.
On en déduit dv
anek
dx
sin 71X.
En portant dans (2) les valeurs de y et de dv après y avoir fait x = X, on a sin nX
cos nX,
ou bien : nX (3)
En posant n X (3 bis.)
hX h
cotg nX
e et
X
,
= A, cette équation devient
cotg a
_x.
ile
1
Fg. 3.
La courbe est composée d'une infinité d'arcs. Les ordonnées sont nulles pour les valeurs des abscisses 7:
3 r.
57: 2
etc.,