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ÉTUDE THÉORIQUE
DU RENDEMENT RÉEL DES MACHINES A VAPEUR. 689
et infinies pour les valeurs n,
0,
Il s'agit de déterminer les quantités a, a, a,..., n,
3,
en partant de l'équation donnée de l'état initial
etc.
est telle que ON,I\IN3. Elle coupe nécessairement toutes les branches de la courbe transcendante. A chaque point d'intersection correspond une abscisse qui est une racine de l'équation (3b1s). Il y a donc un nombre infini de racines réelles qui, à mesure qu'elles croissent, se rapprochent indéfiniment d'un multiple de 7."..
Fourier s'est étendu longuement (Théorie analytique de la chaleur, p. 308) sur les procédés à employer pour calculer ces racines. VII. Détermination de a.
rentielle (1.).
-= a e -
/in= t
cos
autres que a a, a,, etc. Posons donc a, cos 27,X ± a cos n2x
F (x)
.
cette équation doit être une identité pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et X. Multiplions les deux membres par cos mxdx, m étant limites 0 et X. Un terme quelconque du second membre devient a[
I
,
sic (mn)x
sin (m
n)x
71G
nombre infini comme les racines de l'équation (3). Désignons donc par n n,, n etc., ces racines rangées par ordre de grandeur croissante. La solution générale sera : = ai k"Ï cos nix ae k"1 cos 71,X .
0, on aura, pour exprimer l'état initial,
= a1 cos nIx + a, cos 71,X + a3 COS n, x
O.
Il est également nul pour x = X, en vertu de l'équa-
la question. La solution générale sera formée par la somme de toutes les solutions particulières, qui sont en
V,
développer F(x) en une série de cosinus tels que cos nix, cos n,x, etc. Les coefficients du développement ne seront
Le second Membre de cette équation est nul pour x 71X,
où n est une racine quelconque de l'équation (3), satisfait aux équations (I) et (e,), c'est-à-dire à deux conditions de
l'équation
D'après les conditions du problème posé, cet état ini-
tial est une fonction paire de x. Tout revient donc à
a fcos 712X cos Hxdx
La valeur de y donnée par l'équation V
(x).
une des- quantités n n,, etc., et intégrons entre les
On connaît maintenant l'une des constantes, n, de chacune des solutions particulières de l'équation diffé-
Si on fait t
vo =
e
La droite u
.
..
tion (3), pourvu que m soit différent de n. n, le second membre n'est plus nul et on Quand n2 a alors : af
À cos' nX dx _ a7. 2 S.
sin.2n):.
o
2 IL
)
Par conséquent, on a: ,X
X
F (x) cos 71X dx = a f cos' nx dx =--
0
a/ -X± 2
d'où on déduit la valeur de a:
=
4 nfox F (x) cos nx d x
2 n X ± sin :2 nX
sin 2 n X)
2n
,