Annales des Mines (1893, série 9, volume 4) [Image 288]

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THÉORIES RELATIVES A LA COORDINATION

DES SOULÈVEMENTS.

une position symétrique T' par rapport à V, l'arc IH0 se trouverait posséder deux points T, ce qui est impossible,

cinq systèmes trirectangulaires, ce qui devait être, d'ail-

les intersections des octaédriques entre eux ne fournissant qu'un seul point T sur chaque diamètre du pentagone. Donc le point T doit coïncider avec V, milieu de l'arc HoH,, et les arcs Ho T, H,T sont égaux à 45°. Il en résulte que les cercles ayant pour pôles les points T

comprennent deux autres points T situés sur le primitif passant par chacun de ces pôles.

Le point H, et son antipode étant les pôles du

cer-

cle Ho TH,, les cercles T ramassent aussi deux points H. Enfin, le point T étant situé sur les octaédriques H H', H"EI,, dont les pôles sont I' I'", I"Iiv, les cercles a,ya,ntT pour pôle passent par quatre points I antipodes deux à deux.

On peut remarquer aussi que, le point T étant le milieu de l'arc HoH, de 90°, les cercles T sont également inclinés sur les primitifs H, 112, H, Ho, qui sont perpendiculaires

entre eux et parallèles aux faces du cube. Les cercles T font danc un angle de 45° avec chacun de ces derniers cercles et l'on a I"H, Ho = 45°. Les cercles ayant pour pôles les points T sont donc bissecteurs des angles droits en H et également inclinés sur les faces du cube, formant ainsi les plans diagonaux de ce polyèdre. Cette propriété leur a fait donner le nom de dodécaéd'igues rhomboïdaux, le dodécaèdre rhomboïdal étant le solide obtenu par l'intersection de plans également inclinés sur les faces du cube et de l'octaèdre, solide étudié en cristallographie et fréquemment réalisé dans les cristaux de la nature (grenat, magnétite, cuprite). Le nombre des points T est de 60 pour la sphère entière, chacun d'eux étant commun à deux des 120 trian-

gles scalènes. Il y a donc -6-0 ou 30 cercles dodécaédriques rhomboïdaux, dont

30 5

ou 6 pour chacun des

leurs, chaque cube possédant six plans diagonaux. La figure précédente montre que les dodécaédriques rhomboïdaux ayant pour pôles les intersections de deux octaédriques leur sont perpendiculaires et les recoupent chacun en deux points c diamétralement opposés. Chaque cercle T jouit donc de quatre intersections orthogonales c; 30 ou 120 points c sur la sphère. il y a donc 4

Bissecteurs diagonaux. Si l'on considère le cercle octaédrique H a a' a" H' (fig. 17) ayant pour pôle le point Io, et

que du point a comme pôle on décrive un grand cercle, ce cercle sera bissecteur de l'angle Io du triangle scalène B010 H0 et il passera au point Fig. 17. H, situé sur l'octaédrique. En effet, ce nouveau cercle étant perpendiculaire à Io I, en 10, et l'angle Do Io Ho étant de 60°, il détache de cet

angle un angle de 30° et par conséquent le divise en étant égal deux parties égales. En outre, l'arc 11H1 à 180° puisque H

I" 11' = 180°, et les arcs 11111, 11,11 H211'

étant égaux entre eux, on a 31-112=4800, d'où a 11,112-= ail, +

LI,II2= 00°.

Le cercle décrit du point a comme pôle passe donc au point 112; mais comme l'angle en a est droit , le système a H, Io est trirectangulaire, et l'arc Io H, est égal à 90°.

Les cercles bissecteurs des angles I, ou cercles bissecteurs diagonaux, ont donc pour pôles les points a et passent par deux points I et deux points H diamétralement opposés, les arcs I H comptés sur ces cercles étant égaux à 90°.