Annales des Mines (1897, série 9, volume 12) [Image 160]

Cette page est protégée. Merci de vous identifier avant de transcrire ou de vous créer préalablement un identifiant.

312 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA MACHINE A VAPEUR

ACTION DES PAROIS

Nous aurons donc pendant la seconde révolution 4 sin nX V

01

2nX ± sin 2nX

On peut faire subir à cette équation les deux vérifications dont il est parlé au § 5. 1° En faisant t o et t II, on doit obtenir pour V la même valeur. On sait déjà que l'ensemble M des deux derniers termes satisfait à cette condition. Dès lors, pour

cos nx e- A112t +-Mi,

et à la fin de la seconde révolution 4 sin nX

V2 =

+ sin 2nX

o, il -vient

cos nx e- kn't, + M2. 4 sin nX

Vo = E

Pour le troisième tour, je calcule la partie de l'intégrale définie (c) qui se rapporte au terme en 01 de V. Il

et pour t

2nX + sin 2nX

4 sin nX (i + e- hOtI) cos nx e- kn2t 2nX + sin 2nX

M,

0,

01[1

+

4 sin nX

2nX + sin 2nX(e

e-2fr"2ti)

-kn2ti

COS

nx

nX E 2nX4 sin cos nx + sin 2nX

Vo= Ii[

M3

On voit, sans aller plus loin, quelle est la loi de formation du terme. en 01, et on a pour la p"e révolution V

M,

e - ku2t,

e-kn2t,

d'où

d'où V3

cos nx 1

t1

vient oi

3-13

-

On a vu, au § 2, que le facteur de 01 est nul quel que soit x. Donc

= vo.

4 sin nX

0__01

2nX. + sio2nX

e -kn2ci

e-2k12ei

+. e- (e--1)h.n2ti ) cos nx e -n2t

20 Pour x M.

X, on doit avoir 0) dt = o.

e- ploati

La série exponentielle a pour somme et se réduit à, :

1

e - heti

En calculant cette intégrale d'après l'équation (Al rt' a

1cosnxe-kn't 0,1 2ii.X4sitinX 1-sin2nX 1 c-kn't I 1

(A') V-0 L-i2i/X+sin2nX I c-kn'ti c

v 4sinnX Là 2nX + sin2nX

o,

o

(I

0) dt E

2

sin 2nX sin 2nX

777,21 f

ti

t

odt f odee- kn2(el

kli2(t1-z)

Fii°n12

snx-e-Avatile-kli2(t,

casnxitdOe-kra(er)

il

vient

pour p = en .

Nous avons donc l'équation générale :

v 4sinnX

4 sin nX cos nal 2nX ± sin 2nX

o

et on a vu au § 5 qu'on a

ftt f id° e-kn2ct

I

ho

kii2

et e- kn2ct,r) o