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312 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA MACHINE A VAPEUR
ACTION DES PAROIS
Nous aurons donc pendant la seconde révolution 4 sin nX V
01
2nX ± sin 2nX
On peut faire subir à cette équation les deux vérifications dont il est parlé au § 5. 1° En faisant t o et t II, on doit obtenir pour V la même valeur. On sait déjà que l'ensemble M des deux derniers termes satisfait à cette condition. Dès lors, pour
cos nx e- A112t +-Mi,
et à la fin de la seconde révolution 4 sin nX
V2 =
+ sin 2nX
o, il -vient
cos nx e- kn't, + M2. 4 sin nX
Vo = E
Pour le troisième tour, je calcule la partie de l'intégrale définie (c) qui se rapporte au terme en 01 de V. Il
et pour t
2nX + sin 2nX
4 sin nX (i + e- hOtI) cos nx e- kn2t 2nX + sin 2nX
M,
0,
01[1
+
4 sin nX
2nX + sin 2nX(e
e-2fr"2ti)
-kn2ti
COS
nx
nX E 2nX4 sin cos nx + sin 2nX
Vo= Ii[
M3
On voit, sans aller plus loin, quelle est la loi de formation du terme. en 01, et on a pour la p"e révolution V
M,
e - ku2t,
e-kn2t,
d'où
d'où V3
cos nx 1
t1
vient oi
3-13
-
On a vu, au § 2, que le facteur de 01 est nul quel que soit x. Donc
= vo.
4 sin nX
0__01
2nX. + sio2nX
e -kn2ci
e-2k12ei
+. e- (e--1)h.n2ti ) cos nx e -n2t
20 Pour x M.
X, on doit avoir 0) dt = o.
e- ploati
La série exponentielle a pour somme et se réduit à, :
1
e - heti
En calculant cette intégrale d'après l'équation (Al rt' a
1cosnxe-kn't 0,1 2ii.X4sitinX 1-sin2nX 1 c-kn't I 1
(A') V-0 L-i2i/X+sin2nX I c-kn'ti c
v 4sinnX Là 2nX + sin2nX
o,
o
(I
0) dt E
2
sin 2nX sin 2nX
777,21 f
ti
t
odt f odee- kn2(el
kli2(t1-z)
Fii°n12
snx-e-Avatile-kli2(t,
casnxitdOe-kra(er)
il
vient
pour p = en .
Nous avons donc l'équation générale :
v 4sinnX
4 sin nX cos nal 2nX ± sin 2nX
o
et on a vu au § 5 qu'on a
ftt f id° e-kn2ct
I
ho
kii2
et e- kn2ct,r) o
