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BASES D'UNE THÉORIE MÉCANIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ
peut se mettre soiis la
dm
forme
dx* +
C'est l'équation de
'BASES D'DNE THÉORIE MÉCANIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ
dm
Si 1, m, n sont en chaque point les cosinus directeurs de la surface, la relation précédente deviendra
dn\
+ m ** °'
Laplace,
Ç (lu + tnv + nto)
l'électricité soit distribuée sur les conducteurs suivant la sans considérer
les
surfaces de niveau et les tubes d'induction, au moyen de
Maxwell
la méthode appliquée par
I,
(t.
chap. iv, §
100)
à des hypothèses différentes. D'après la conception que nous nous sommes faite de l'induction, la valeur de la densité électrique a est bien
dto
= o
s
et l'on sait qu'elle ne peut
être satisfaite que d 'une seule manière ; elle exige que loi de Coulomb. On arriverait au même résultat,
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ou, en remplaçant l'intégrale de surface par une intégrale de volume prise pour tout l'espace compris dans cette surface,
/
/du [dx
, dv , div\ , , , dxdjdz dy+-dj) ' =
4
0
-
V
Cette condition devant être satisfaite pour une surface quelconque, on aura en chaque poiht
déterminée en Chaque point du diélectrique ; elle est rapportée à un plan également bien déterminé, celui de la zone neutre-. (M peut donc représenter
t
par un vecteur,
dont les composantes «ont wy #, M>> On admet que, dans le diélectrique, charge est nul pour ment
une
particule.
Kilo
te total de la
du dx
dv dy
. die, _ dz
Dans l'intérieur des conducteurs, u, v, w sont nuls. A la surface des conducteurs, la charge a pour expression
sera donc égale-
nulle pour une surface formée quelconque, assu-
E ==
J" (lu + mv + nu-)
dio.
jettie uniquement k envelopper un nombre entier de particules.
Sôit,
dans
cette
surface, un élément
l'ângle Y; avec le plan de la Charge. élément
ses projections
sur
Si
f/u,
faisant
on substitue à <îet
trois plans rectangulaires,
plan de là -zone neutre, le total des charges reste toujours nul sur la surface fermée.- La projection de du, sur le plan de la zone neutre est du, coS r;, et la charge correspondante nrdu, cos rr Sur les deux plans rectangulaires, la charge est nulle. Nous écrirons dont l'un sera le
donc
f
<J
L'énergie potentielle du système électrisé a pour expression
COS r,tf (i> = O,
l'intégrale étant prise pour toute une surface fermée.
P =
j («» + e* +
d-, .
intégrale étendue à tous les éléments de volume d- du diélectrique. Le problème de l'équilibre stable consiste à trouver, pour tout l'espace, les valeurs ït, v, tv qui rendent P minimum, E étant donné pour chaque conducteur. Nous allons démontrer que le minimum correspond au cas où v, v, u) sont les dérivées partielles d'une même fonction {x, y, s).