Annales des Mines (1906, série 10, volume 9) [Image 268]

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BASES D'UNE THÉORIE MÉCANIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ

peut se mettre soiis la

dm

forme

dx* +

C'est l'équation de

'BASES D'DNE THÉORIE MÉCANIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ

dm

Si 1, m, n sont en chaque point les cosinus directeurs de la surface, la relation précédente deviendra

dn\

+ m ** °'

Laplace,

Ç (lu + tnv + nto)

l'électricité soit distribuée sur les conducteurs suivant la sans considérer

les

surfaces de niveau et les tubes d'induction, au moyen de

Maxwell

la méthode appliquée par

I,

(t.

chap. iv, §

100)

à des hypothèses différentes. D'après la conception que nous nous sommes faite de l'induction, la valeur de la densité électrique a est bien

dto

= o

s

et l'on sait qu'elle ne peut

être satisfaite que d 'une seule manière ; elle exige que loi de Coulomb. On arriverait au même résultat,

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ou, en remplaçant l'intégrale de surface par une intégrale de volume prise pour tout l'espace compris dans cette surface,

/

/du [dx

, dv , div\ , , , dxdjdz dy+-dj) ' =

4

0

-

V

Cette condition devant être satisfaite pour une surface quelconque, on aura en chaque poiht

déterminée en Chaque point du diélectrique ; elle est rapportée à un plan également bien déterminé, celui de la zone neutre-. (M peut donc représenter

t

par un vecteur,

dont les composantes «ont wy #, M>> On admet que, dans le diélectrique, charge est nul pour ment

une

particule.

Kilo

te total de la

du dx

dv dy

. die, _ dz

Dans l'intérieur des conducteurs, u, v, w sont nuls. A la surface des conducteurs, la charge a pour expression

sera donc égale-

nulle pour une surface formée quelconque, assu-

E ==

J" (lu + mv + nu-)

dio.

jettie uniquement k envelopper un nombre entier de particules.

Sôit,

dans

cette

surface, un élément

l'ângle Y; avec le plan de la Charge. élément

ses projections

sur

Si

f/u,

faisant

on substitue à <îet

trois plans rectangulaires,

plan de là -zone neutre, le total des charges reste toujours nul sur la surface fermée.- La projection de du, sur le plan de la zone neutre est du, coS r;, et la charge correspondante nrdu, cos rr Sur les deux plans rectangulaires, la charge est nulle. Nous écrirons dont l'un sera le

donc

f

<J

L'énergie potentielle du système électrisé a pour expression

COS r,tf (i> = O,

l'intégrale étant prise pour toute une surface fermée.

P =

j («» + e* +

d-, .

intégrale étendue à tous les éléments de volume d- du diélectrique. Le problème de l'équilibre stable consiste à trouver, pour tout l'espace, les valeurs ït, v, tv qui rendent P minimum, E étant donné pour chaque conducteur. Nous allons démontrer que le minimum correspond au cas où v, v, u) sont les dérivées partielles d'une même fonction {x, y, s).