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BASES D'UNE THÉORIE MÉCANIQUE DE L'ÉLECTRICITÉ
aurait donc, en fin de compte, un état périodique plus stable que l'état permanent, lequel ne pourrait pas se maintenir. Or l'état permanent est stable par hypothèse, puisque nous appliquons aux fils toutes les forces extérieures nécessaires pour les maintenir au repos. Il faut donc que, dans un cycle fermé décrit dans le temps t, la quantité d'électricité égale à
idt
ou que
dt,
J
soit toujours inférieure ou — Ri) dt
soit toujours nul
-r-
<«=3
clx
4- -ir^
S
j la valeur de
. di,
,
tirée de l'équation précédente, pourra
être déterminée à volonté. Si donc on a décrit un premier cycle, en faisant varier 'dx et le ramenant à zéro, on peut toujours en décrire un second où dx et di prendront des valeurs égales et de signe contraire. Si
j
(H — Ri)
dt
était positif dans le premier cycle, il sera
négatif dans le second. Or, comme il doit toujours rester positif, quel que soit le cycle, il faut qu'il s'annule. (H — Ri) dt sera donc une différentielle exacte, pour des variations arbitraires dx etdi. T étant une fonction homogène du second degré, on a l'identité ci
( „- Ri) ^,(f)-(i±Ih Le second membre, qui ne renferme que les différentielles dx et di, doit être une différentielle exacte. Le premier terme l'étant déjà, le second doit l'être aussi, et par suite cYT le coefficient de
dx
ne doit pas renfermer i. Or
premier degré en i ;
—
est du
devra donc renfermer un terme
égal et de signe contraire :
ai — xdx
Quelle que puisse être, à un instant donné, la valeur de H — Ri, de x et de i, on peut toujours donner simultanément à dx et di des valeurs arbitraires ; on peut en effet disposer du déplacement géométrique dx et de la vitesse dx
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i
ou positif. L'équation de la conservation de l'énergie nous donne (H-IUj
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ce qui permet d'écrire :
ut + T- dx = id HT; — dx, As \oi / ox
x
iT
=~S
+ if{x)
'
la fonction / ne renfermant pas i. Si f (x) n'était pas nul, il faudrait une force pour maintenir le système au repos, en l'absence de tout courant, et il se produirait des effets d'induction dans des circuits sans source électrique. Si de tels effets pouvaient se produire, ce seraient des phénomènes étrangers au problème physique qui nous occupe. Nous devons donc annuler la fonction f(x), et il nous reste les lois connues :
{ti-i\i)dt=d
.(^y
Passons maintenant au cas de plusieurs courants. Nous pouvons supposer qu'on ne fait varier qu'un seul paramètre géométrique x. L'équation de la conservation de l'énergie devient Si (H — Ri) dt — dT — Xdx.
Si nous faisons varier
dx,
en le ramenant à zéro, le