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BASES
D'UNE
THÉORIE
MÉCANIQUE DE
L'ÉLECTRICITÉ
On aura donc : H 3A V£ ^ ^- + ... A = A 0 + S?
BASES D'UNE
THÉORIE
MÉCANIQUE
DE
L'ÉLECTRICITÉ
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s'annule ainsi, il suffit que la symétrie existe avant le mouvement de déformation, car deux déformations symétriques d'un système symétrique doivent donner les mêmes valeurs de -^,< non des valeurs de signe contraire.
+
Si le système est symétrique par rapport au plan çO»,
f
— ; d / ) etc., prendront les valeurs correspondantes à 3«7C ~ia,ifib k A = A 0 , c'est-à-dire à l'état stable ; cet état étant unique et bien déterminé, ces valeurs ne dépendent que de la nature du corps. En introduisant l'expression de A et les expressions analogues dea, (3, B, C, dans l'équation (1), et limitant la formule aux termes du second degré ii • i &a en s, Y;, Ç, on retrouve une nouvelle expression de -j-^->
de même forme que (1) ; mais cette fois les coefficients a, (i,, A,. ..., seront des constantes caractéristiques du corps considéré. L'égalité (1) est donc une relation générale entre les dérivées de a prises par rapport au temps et à l'espace. C'est l'équation différentielle de la propagation d'une perturbation, quelle que soit la nature de la fonction a, dont la variation trouble l'équilibre. Cette équation peut se simplifier dans certains cas. Si le système est symétrique autour de l'origine des coordonnées, les termes en ^> ^> ^ doivent disparaître. «5
m
«ç
En effet ces termes, s'ils subsistent, sont prépondérants, étant du premier degré en Ë, rn t. Or ils changent de signe quand on échange les valeurs de a entre points symétriques par rapport a 1 origine ; de sorte que change de signe dans un système symétrique par rapport à l'origine. Les deux systèmes ne sont donc pas égaux, ce qui est contraire à l'hypothèse. Pour que a, (3, v
les termes en —— > —-t — — > etc.,
disparaissent. Car,
en remplaçant le système par un autre symétrique, les valeurs de Y] changent de signe, celles de % ne changent pas ; les termes en -g—» etc.,
changent donc de signe ;
d2 a ^~7> qui devrait conserver la même valeur dans un système symétrique, se trouvera changé ; ces termes sont donc nuls . Si la perturbation est suffisamment petite, les ternies /3fl\ 2 . . , .. en - > — — > etc., deviennent négligeables par rapport V'; / vi\ •aux termes en — < -— i etc.. Supposons en effet que, pour les mêmes valeurs de ç, rn Ç, on réduise dans un rapport m toutes les valeurs de 3a 32a tfa a — a 0 , b — b 0 . routes les dérivées —i — > ^rr> • etc., se trouveront réduites termes en (r^\
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dans
le
même
rapport ;
les
etc., sont réduitsdanslerapport
tandis que les autres sont réduits dans le rapport m ; on pourra toujours prendre m assez petit pour rendre négligeables les termes multipliés par m2 . Supposons en outre que la perturbation se propage suivant une onde plane, c'est-à-dire que les a et les /; aient la même valeur dans toute l'étendue d'un plan d'une direction déterminée, par exemple perpendiculaire à 0;.
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