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OSCILLATIONS DES BENNES NON GUIDÉES
q == 4 ; et enfin au delà une nouvelle suite de valeurs toutes fractionnaires, qui décroissent en tendant vers cette même limite 2.
On en déduit par des différentiations successives : dx 7Z = °> rte
- «
X ~]—'
23. Cet exposant, par lequel se soudent l'une à l'autre les deux suites numériques, est précisément celui dont l'étude a fait l'objet des paragraphes 2 et 3. Nous constatons malheureusement que la valeur q = 1 ne figure pas dans cet ensemble (*). C'est elle en effet qui correspond à la loi du déroulement uniforme : l — ai,
c'est-à-dire à l'emploi du treuil cylindrique. 11 nous faut donc l'aborder directement par une autre voie ; nous aurons recours à l'emploi des séries. L'équation générale (4) devient, dans l'hypothèse (25) :
^
]
l
dë
+ 2
d~t^a
x = 0
(27) \ u
■
t — -x — Gx, g
en désignant par G le temps que mettrait la pesanteur à créer librement, à partir du repos, une vitesse égale à celle du déroulement. Il vient ainsi : (te 2
(te
Uj ~
W/o
2'
etQ = L
?
= l
■ .
da*
tf.;;2
_ +
2.3
!
\dat) —
2.3.4'
9
d'où en substituant ces valeurs dans la série de Mac-Laurin (*) :
(
X 1
"~ 1^2
X +
X^ 2
2
2
X* 2
12.2 .3 ~~ 1 .2 .3 .4
+
2
2
2
\ 2
1 .2 .3 .4 .5 ~~ '"]'
Cette suite est convergente, puisque le rapport d'un terme au précédent : ±
S
n [n + 1)
,
tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment. 24. Si nous la représentons, pour abréger, par s l'expression : (30)
(x),
a = C? (x), '
ne saurait être considérée comme l'intégrale générale de (26) puisqu'elle ne renferme qu'une seule constante. (*) Ce développement n'est autre que la dérivée de celui que l'on formerait avec les carrés des différents termes de la série classique exponentielle eV-*: o.' 2
x (*) Celles qui se rapprochent le plus de l'unité sont : Q —
, d*a
4
Faisons x = 0, et représentons par C la valeur que prend alors a ; il nous viendra :
'
et peut encore se simplifier au moyen du changement de variable :
,
-4-
dx'<
0
(25)
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OSCILLATIONS DES BENNES NON GUIDÉES
12
+
P.
22
x3 _
i« .
,
x1
22 . 32 ^ 12 . 22 . 32 . 42 ~~
Cette série a été envisagée par M. Hurwitz (Mathemalische Annalen, L XXXVII) et par M. de Montessus [Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 22 février 1905).