Annales des Mines (1914, série 11, volume 6) [Image 56]

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INTERPRÉTATION MÉCANIQUE

de courbure de la section, par le plan PQ,de la surface orthogonale à P. Le terme —

)

QÏ C?W

.

3

est égal à —

et de même le dernier terme s'écrira — —

— dx, PP

q

dx.

Désignons par P un vecteur ayant même grandeur et même direction que les pressions principales P , P et t 2 même sens que la force appliquée par une pression sur la surface convexe da> ; appelons P„ la projection du { vecteur P sur la normale à la surface de l'élément, cette projection étant comptée positivement quand elle est dirigée de l'extérieur vers l'intérieur de cette surface. Les termes Pjcfwj — P9^">2 ont la même valeur que l'intégrale

fp n dtà,

étendue à toute la surface de l'élément

de volume. En effet la projection P est nulle pour les n faces planes de l'élément, elle se réduit à P, et — P sur 2 les deux faces courbes. Si P , P , P , sont les projecx y

tions de P sur les axes de coordonnées :

En désignant par DP la divergence du vecteur P, l'équation d'équilibre s'écrira : DP

'•v

-^_JL = 0 . PPO

PPR

R Le signe de — serait changé si la courbure des deux PPB

sections normales rectangulaires était de sens contraire. i Considérons le cas particulier où les efforts P, Q, R sont essentiellement positifs, c'est-à-dire que ce sont des pressions et non des tensions. L'équation d'équilibre nous donnera : DP > o.

105 tputes les fois que la courbure des deux sections rectangulaires sera de même sens. On peut étendre ce résultat à un volume de dimensions quelconques, à condition d'adopter une autre convention pour la définition des vecteurs P, Q, R : tout le long d'une surface normale aux pressions principales P, le vecteur P aura le sens de la force appliquée par une pression sur cette surface ; il gardera le même sens tout le long d'une ligne de pression principale tracée tangentiellement aux pressions P. Q R L'équation DP == j subsistera, à condition de DE LA LOI DE GRAVITATION

PPQ

PPR

donner un signe au rayon de courbure : positif, si le centre de courbure de la section est, par rapport à cette section, dans le sens positif des vecteurs P; négatif, dans le cas contraire. L'intégrale J 'DPdx sera positive quand elle s'étendra à un volume où les rayons de courbure sont positifs, ainsi que les pressions Q et R. Un système de pressions est défini par la grandeur et la direction des pressions principales en chaque point de l'espace. On peut concevoir que de nouvelles pressions s'ajoutent aux premières et que la superposition de plusieurs systèmes composants constitue. un système résultant. Si chacun des systèmes composants satisfait aux équations d'équilibre, le système résultant y satisfait aussi, puisque ces équations expriment seulement que les projections et les moments des forces s'annulent. Bien que nous ayons représenté les pressions par des vecteurs, pour écrire les équations d'équilibre, il faut bien remarquer que les pressions principales ne se composent pas suivant la règle de composition des vecteurs. Les directions principales, dans le système résultant, ne coïncident pas, en général, avec celles d'aucun des systèmes composants, à moins que ceux-ci n'aient tous mêmes di-