Annales des Mines (1914, série 11, volume 6) [Image 58]

Cette page est protégée. Merci de vous identifier avant de transcrire ou de vous créer préalablement un identifiant.

108

à déterminer les pressions dans toute l'étendue du milieu ; il y aura une infinité de systèmes de pressions satisfaisant aux équations d'équilibre et aux conditions limites de pression à la surface des/Sphères. Parmi ces systèmes, nous nous proposons de chercher la distribution de pressions qui donnera la valeur minima à. l'intégrale du viriel, étendue à tout l'espace, et changée de signe :

J>

+ Q

parmi les intégrales

du vecteur correspondant sont (en -prenant pour origine des coordonnées le centre de la petite sphère) : .

_mx "x — —T!

J (P -t- Q -f- R) dx est atteint pour un sys-

_my rY — —>

mz

K — —r •

Supposons qu'on leur ajoute de petites quantités a, $, y. Les surfaces normales à P, qui étaient sphériques, se déformeront; mais, dans une petite déformation, elles resteront concaves vers le centre de la sphère déformée. On aura donc toujours DP>o. dx

dy

- dz

dx^~ dy ~* dz'

Or dVx , dP y dx dy

dP z dz

On aura donc dans tout l'espace : (d* ,d$ \dx + dy

sphère ; posons j P 0 c?w == ir.m. Je dis que le minimum de l'intégrale

JPdx ; car l'intégrale J"(Q + R) d-,

ne renfermant que des éléments positifs, est minima quand Q et R sont nuls. m Quand la pression P est égale à — ? les trois projections

+ R )dT.

Le problème ne peut se poser que si les pressions P, Q, R, sont assujetties à certaines conditions restrictives ; car, si elles n'étaient liées que par les équations d'équilibre, on y satisferait au moyen de pressions négatives, dont la valeur absolue pourrait croître au delà de toute limite; il n'y aurait pas de minimum. Une condition très simple serait que le milieu considéré, comme les fluides connus, ne pût transmettre que des pressions, et non des tensions, de sorte que P, Q, R, fussent des quantités essentiellement positives. C'est dans cette hypothèse que nous allons traiter le cas particulier, où il n'existe qu'un point central, autour duquel les pressions sont données. Soit P 0 leur valeur, du un élément de surface de la

L'intégrale

+

df\ dz) > °-

J' Pdx prendra la valeur :

tème de pressions où Q et R sont nuls, et dans lequel = /'rfTV'Px -; a)2

les pressions P ont la valeur. ^5 et sont dirigées suivant la droite joignant chaque point de l'espace au centre de la petite sphère. Il suffira de montrer que

dx est un minimum

109

DE LA LOI DE GRAVITATION

INTERPRÉTATION MÉCANIQUE

=j 'd-\ l'ï-

P| i-'vj

Ç

. (P +' p)2 -f ( y

aPx + [3P y +

. )î

Pz + T

+ 5 (*2 4- P + f

PI + P| + P|

Pour que l'accroissement donné à

J Pdx soit positif, il