Annales des Mines (1914, série 11, volume 6) [Image 59]

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INTERPRÉTATION MÉCANIQUE

faut que :

/

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DE LA LOI DE GRAVITATION

Dans les deux intégrales, les coefficients r2 —r l , r2 — r, sont toujours positifs ; comme il en est de même de + Pi

V/PI ■ + P§

soit toujours positif. Cette intégrale est égale à :

~P~

~\~ —\~ -r- ' les intégrales ont une valeur rpositive. dx dy dz Toute variation de P x , P ;/ , Pi, satisfaisant aux conditions d'équilibre, augmentera donc l'intégrale du viriel étendue ~T~

dTransformons cette expression par une intégration par parties :

ffdydzja £ dx =ffdydz |Vr) 2 - («r), - J"r g dx^.

Ajoutons les quantités similaires en Ji, y, et étendons l'intégration, à l'espace compris entre deux sphères ayant l'origine pour centre. Le long de la sphère de rayon r 2 , l'intégrale de surface : '

ffdydz(*r)2 = r3

fff

g dr.

0

l'intégrale de volume étant prise à l'intérieur de la sphère de rayon r2 . L'expression transformée devient :

fI (% % H-

ff

+ 1) * - -/

0

\dx

1 r

o

M

0

dy (do.

dz) d{5

,

dy'

est donc bien un minimum. Cette intégrale, étendue à une sphère de rayon r, prend la valeur ksrhr ; elle devient donc infinie quand on Pétend à tout l'espace. Quand nous disons que cette quantité infinie est un minimum, il faut entendre que la valeur k%mr est un minimum parmi les intégrales étendues à une sphère de rayon r, et qu'elle reste toujours minima, quelle que soit la grandeur de r. Nous donnerons à la distribution de pressions, correspondant à ce minimum, le nom de système rayonnant au.tour du centre de la sphère.

(I + 1 + 1) *

12° Cas de plusieurs centres de pressions. — Passons au cas 'où il existe plusieurs petites sphères autour desquelles les pressions normales sont données. Nous ne pouvons donner une solution absolument générale de la question, mais nous traiterons le cas où un nombre fini de petites sphères sont plongées dans un milieu d'étendue indéfinie. Soient M l5 M 2 , M* les centres des sphères et 4t%m.{; 4xm 2 , kr^mu les valeurs correspondantes de l'intégrale des pressions de contact J" P c?w ; r 0

u

r , 2

rj,

la

distance d'un point de l'espace aux centres. Traçons le système rayonnant autour de chaque point M, et composons ensemble tous ces systèmes ; nous . donnerons au système résultant le nom de système rayonnant