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ÉCOLE IMPÉRIALE DES MINES.
cle. — Décrire sur une ligne donnée un segment de cercle capable d'un angle donné. a8. Lignes proportionnelles (*). Toute parallèle à l'un des côtés d'un triangle divise les deux autres côtés en parties proportionnelles. — Réciproque. — Propriétés de la bissectrice de l'angle d'un triangle. Polygones semblables. En coupant un triangle par une parallèle à l'un de ses côtés, on détermine un triangle partiel semblable au premier. — Condition ■de similitude des triangles. Décomposition des polygones semblables en triangles semblables. — Rapport des périmètres. 29. Relations entre la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle sur l'hypoténuse, les segments de l'hypoténuse, l'hypoténuse elle-même et les côtés de l'angle droit. Relation entre le carré du nombre qui exprime la longueur du côté d'un triangle opposé à un angle droit, aigu ou obtus, et les carrés des nombres qui expriment les longueurs des deux autres côtés. Si d'un point pris dans le plan d'un cercle, on mène des sécantes, le produit des distances de ce point aux deux points d'intersection de chaque sécante avec la circonférence est constant, quelle que .soit la direction de la sécante. — Cas où elle devient tangente, 30. Diviser une droite donnée en parties égales ou en parties proportionnelles à des lignes données. — Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes; une moyenne proportionnelle entre deux lignes. Construire, sur une droite donnée, un polygone semblable à un polygone donné. 31. Polygone régulier.
Tout polygone régulier peut être inscrit et circonscrit au cercle. Le rapport des périmètres de deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés est le même que celui des rayons des cercles circonscrits (**). (*) En conservant les énoncés habituels, on devra remplacer, dans les démonstrations, l'algorithme des proportions par l'égalité des rapports. (") La longueur de la circonférence de cercle sera considérée, sans démon-
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COtjRS PRÉPARATOIRES.
Le rapport d'une circonférence à son diamètre est un nombre constant. Inscrire dans un cercle de rayon donné un carré, un hexagone régulier. Manière d'évaluer le rapport approché de la circonférence au diamètre, en calculant les périmètres des polygones réguliers de Zi, 8, 16, 3i côtés inscrits dans un cercle de rayon donné. 02. Mesure de l'aire du rectangle, du parallélogramme, du triangle, du trapèze, d'un polygone quelconque. — Méthodes de la décomposition en triangles et en trapèzes rectangles. Relation entre le carré construit sur le côté d'un triangle opposé à un angle droit, ou aigu, ou obtus, et les carrés construits sur les deux autres côtés. 55. Le rapport des aires de deux polygones semblables est le même que celui des carrés des côtés homologues. Aire d'un polygone régulier. — Aire d'un cercle, d'un secteur et d'un segment de cercle. — Rapport des aires de deux cercles de rayons différents. FIGURES DANS L'ESPACE.
34. Du plan et de la ligne droite. — Deux droites qui se coupent déterminent la position d'un plan. — Condition pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan. Propriété de la perpendiculaire et des obliques menées d'un même point à un plan. Parallélisme des droites et des plans, 35. Définition et génération des angles dièdres. — Dièdre droit. Angle plan correspondant à l'angle dièdre. — Le rapport de deux angles dièdres est le même que celui de leurs angles plans. Plans perpendiculaires entre eux. — Si deux plans sont perpendiculaires à un troisième, leur intersection commune est perpendiculaire à ce troisième. Angles trièdres.— Chaque face d'un angle trièdre est plus petite que la somme des deux autres. Si l'on prolonge les arêtes d'un angle trièdre au delà du sommet, on forme un nouvel angle trièdre qui ne peut lui être superposé, bien qu'il soit composé des mêmes éléments. stration, comme la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone inscrit dans cette courbe à mesure que ses côtés diminuent indéfiniment. DÉCRETS,
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