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teur z, ona,dz= ds cos p, d'où ds
(LZ
cos?
l'intégrale précédente peut donc se mettre la foeme
(
I
1
\
sous
r° zdz
,,
Q \ TJ,- + E7 i I
cos
=
?
Cela posé, un même arc S de toute courbe gé.-
nératrice possible, engendrant deux portions de courbes directrices, qui feront décrire les mêmes fractions de révolution aux deux circon-
férences, trouver les courbes directrices dont le frottement absorbe le moins possible de force
vive, c'est trouver, parmi toutes les fonctions r cos p
rectrices les
développantes des deux eireonfé-
cylindrique pour leipe:!. rences. Ainsi l'engrenage
de force due au frottement est un minipour lequel les dents des roues seraient limitées pair des développantes de cercle.
la perte celui mum est
Dans le cas où la courbe génératrice est un
p
de z, pour lesquelles S =j>"dz
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SUR LES ENGRENAGS.
SUR LES ENGRENAGES.
cercle, et par conséquent les courbes directrices des épicycloïdes , en représentant par y le rayon 2 du cercle générateur, on a Z=2 ), sin?,
d ç , et l'intégrale donnant la somme vive perdue par le frottement est
R'
f (L
I
est constant,
yi
h
de force
tang p d p .=
P
I
1
Qf (k+-1T-) 4
1°g cos p .
P
eo zdz celle qui rend_ I
un. minimum. La mi-
,j cos ' p
thode des variations, appliquée à cette recher-
che,.indique que f° zdz r' zdz
JouJ
4 et d '
.
cos ' r
COS' P
P
représente l'arc du cercle de rayon que le point de contact des circonférences a parcouru, tandis que l'angle a augmenté de zéro à sa dernière valeur, l'arc 2 .y doit lui être égal; ce
-1--
ce.f
P
°A 4 e
,oz+ COS cos
1'
PCOS
pdz.; P
P
qui donne p=
2
2
i14: la perte de
force peut alors être mise sous la forme
devant être un minimum , il faut que ( z -H e' cos ?
cos 2 p
40
z ,
P
2 z-1.-eCOS p
shipk=0,
4. d4 . 2 Ril<>tang 11-± 2), 4
cos , p
ce qui exige 2z--F-a. cos p = 0, ou que sin e=--o, quel
que soit z; mais la courbe génératrice devant être
telle que z= o et p= o en même temps, cette
si les directrices étaient des développantes pour le même angle 1, au centre du cercle de rayon R`, la somme de force perdue serait
variation ne peut être nulle que lorsque sinç=o, oue=o, quel que soit z : dans ce cas, la courbe gé-
nératrice est une ligne droite et les courbes di-
Qf(1R
./4 dt: