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NOTE SUR L'EMPLOI
A mesure que le câble s'enroule sur la bobine,
son axe se plie suivant une courbe qui est une spirale d'Archimède , dont le rayon vecteur, compté à partir de l'axe de l'arbre, augmente de l'épaisseur e du câble pour un tour entier de l'arbre; l'équation de cette spirale est donc (i)
z =_- r
(z désignant le rayon vecteur correspondant à La longueur de la portion de câble enroulée, quand l'arbre a tourné d'un angle O, est égale z'd0'.
car on sait que z et 0 étant les coordonnées polaires d'une courbe, l'élément ds de la courbe dz' z'd0'. Dans le cas dont il s'agit ici, dz est toujours assez petit par rapport à zd0. En effet on a ed0 2 Tr
rd0
zdO
dans l'expression f/dz'+fde', clz' par rapport à zad0', ce qui simplifiera beaucoup le calcul. On aura ainsi et
l'angle 0 ).
dz
égale au moins à 7 ou 8 fois e, on pourra négliger
ds
2 1T.
à f0./ clz'
seur du câble à la circonférence développée qui a pour rayon r. Comme r aura toujours une valeur
o
e
6
DES CALES PLATS.
e0d9
S
ri
zdO
f
zdO
rd0 -F- s
eAdO
27r
=
el'
La tonne pleine se sera donc élevée dans le lorsque l'arbre puits d'une hauteur S r0 aura tourné de l'angle O. (Remarquons que négliger dz par rapport à zd0 dans l'intégrale
1.:1/
z2d0', revient à prendre pour la lon-
gueur développée d'une spire de la courbe, longueur de la circonférence de cercle, dont le rayon est la moyenne arithmétique entre les deux rayons vecteurs extrêmes de la spire.)
.
2 ?I"
d'où
Si nous appelons 0, l'angle dont l'arbre doit dz
tourner, pour que la tonne pleine partant du fond arrive au jour, nous aurons évidemment ces deux
2
équations :
e0
2
La plus grande valeur du rapport
dz zda
cor-
respond à 0 o, puisque c'est pour 0 o que le dénominateur du second membre est le plus petit possible. Cette plus grande valeur est donc égale à , c'est-à-dire au rapport de l'épais2 rrr
R
r
L = Re,
e
2 7r
e
47;
(I) (2)
Ces deux équations suffisent pour déterminer R et 0, , lorsqu'on s'est donné la valeur de r qui demeure arbitraire.