Annales des Mines (1837, série 3, volume 11) [Image 31]

Cette page est protégée. Merci de vous identifier avant de transcrire ou de vous créer préalablement un identifiant.

60

NOTE SUR L'EMPLOI

A mesure que le câble s'enroule sur la bobine,

son axe se plie suivant une courbe qui est une spirale d'Archimède , dont le rayon vecteur, compté à partir de l'axe de l'arbre, augmente de l'épaisseur e du câble pour un tour entier de l'arbre; l'équation de cette spirale est donc (i)

z =_- r

(z désignant le rayon vecteur correspondant à La longueur de la portion de câble enroulée, quand l'arbre a tourné d'un angle O, est égale z'd0'.

car on sait que z et 0 étant les coordonnées polaires d'une courbe, l'élément ds de la courbe dz' z'd0'. Dans le cas dont il s'agit ici, dz est toujours assez petit par rapport à zd0. En effet on a ed0 2 Tr

rd0

zdO

dans l'expression f/dz'+fde', clz' par rapport à zad0', ce qui simplifiera beaucoup le calcul. On aura ainsi et

l'angle 0 ).

dz

égale au moins à 7 ou 8 fois e, on pourra négliger

ds

2 1T.

à f0./ clz'

seur du câble à la circonférence développée qui a pour rayon r. Comme r aura toujours une valeur

o

e

6

DES CALES PLATS.

e0d9

S

ri

zdO

f

zdO

rd0 -F- s

eAdO

27r

=

el'

La tonne pleine se sera donc élevée dans le lorsque l'arbre puits d'une hauteur S r0 aura tourné de l'angle O. (Remarquons que négliger dz par rapport à zd0 dans l'intégrale

1.:1/

z2d0', revient à prendre pour la lon-

gueur développée d'une spire de la courbe, longueur de la circonférence de cercle, dont le rayon est la moyenne arithmétique entre les deux rayons vecteurs extrêmes de la spire.)

.

2 ?I"

d'où

Si nous appelons 0, l'angle dont l'arbre doit dz

tourner, pour que la tonne pleine partant du fond arrive au jour, nous aurons évidemment ces deux

2

équations :

e0

2

La plus grande valeur du rapport

dz zda

cor-

respond à 0 o, puisque c'est pour 0 o que le dénominateur du second membre est le plus petit possible. Cette plus grande valeur est donc égale à , c'est-à-dire au rapport de l'épais2 rrr

R

r

L = Re,

e

2 7r

e

47;

(I) (2)

Ces deux équations suffisent pour déterminer R et 0, , lorsqu'on s'est donné la valeur de r qui demeure arbitraire.